東北大学 2018年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

奇数番目だけを取り出して $b_m=a_{2m-1}$ とおく。$b_1=a_1=0$ である。 $a_{2m-1}=b_m$ とする。偶数番目では $a_{2m}=\frac{1}{2}\sqrt{|b_m+1|}-1$ である。後で得られるように $b_m+1>0$ なので、絶対値は外してよい。次の奇数番目では $a_{2m+1}=a_{2m}^2+2a_{2m}=(a_{2m}+1{)}^2-1$ である。ところが $a_{2m}+1=\frac{1}{2}\sqrt{b_m+1}$ だから $b_{m+1}+1=a_{2m+1}+1=\frac{1}{4}(b_m+1)$ である。 $b_1+1=1$ より $b_m+1=4^{-(m-1)}$ である。したがって $b_m=-1+4^{-(m-1)}$ である。$n=2m-1$ と戻すと、$n$ が奇数のとき $\boxed{a_n=-1+4^{-\frac{n-1}{2}}}$ である。

(2)

$n=2m$ とする。(1)より $a_{2m-1}+1=4^{-(m-1)}$ である。したがって

である。よって $n$ が偶数のとき $\boxed{a_n=-1+2^{-\frac{n}{2}}}$ である。

(3)

(1)、(2)より、奇数番目では $a_n=-1+4^{-\frac{n-1}{2}}$ であり、偶数番目では $a_n=-1+2^{-\frac{n}{2}}$ である。どちらの補正項も $n\to \infty$ で0に近づく。したがって $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-1}$ である。