問題
片面が黒，もう片面が白の正方形の板が9枚ある。これらを，横3列，縦3列に，すべて黒が表になるように並べる。さいころの出た目に従って，以下のように，ある1列をすべてひっくり返す（すなわち，白になっているものは黒に，黒になっているものは白にする）。
● 1が出れば上の横の列にある板をすべてひっくり返す。
● 2が出れば中央の横の列にある板をすべてひっくり返す。
● 3が出れば下の横の列にある板をすべてひっくり返す。
● 4が出れば左の縦の列にある板をすべてひっくり返す。
● 5が出れば中央の縦の列にある板をすべてひっくり返す。
● 6が出れば右の縦の列にある板をすべてひっくり返す。
たとえば，さいころを2回振って最初に1，次に4が出たとき，板は次のようになる。
% 図は省略
(1) さいころを2回振ったときに，すべての板が黒になっている確率を求めよ。
(2) さいころを3回振ったときに，すべての板が白になっている確率を求めよ。
(3) さいころを4回振ったときに，下の図のようになっている確率を求めよ。
% 図は省略
方針
盤面は横3列・縦3列の選択回数の偶奇だけで決まる。(1)(2)は後期文系第3問と同じく、同じ列を2回、または横3列・縦3列を1回ずつ選ぶ場合を数える。(3)では4回後の目標盤面に対応する偶奇パターンが2種類ある。中央横列と中央縦列だけが奇数の場合は、奇数列2本の回数配分が に加えて偶数2回、または となる。もう一方の4本奇数の場合は4本を1回ずつ選ぶ。
解答
(1)
2回後にすべて黒であるには、すべての板が偶数回反転されなければならない。2回の操作でこれが起こるのは、同じ横列または同じ縦列を2回選ぶ場合だけである。選ぶ列は6通りなので である。
(2)
3回後にすべて白であるには、9枚すべてが奇数回反転される必要がある。3回でこれを実現するには、横3列を1回ずつ選ぶか、縦3列を1回ずつ選ぶしかない。順序を考えると有利な出方は 通りである。したがって確率は である。
(3)
図の盤面になる偶奇パターンは2種類ある。1つ目は、中央の横列と中央の縦列だけを奇数回選び、残り4列を偶数回選ぶ場合である。4回の操作でこの偶奇にする出方を数える。
中央横列と中央縦列をそれぞれ1回ずつ選び、残り2回で同じ非目標列を2回選ぶ場合は、非目標列の選び方が4通り、順序が 通りなので、合計48通りである。また、中央横列と中央縦列のどちらか一方を3回、もう一方を1回選ぶ場合は 通りである。したがって1つ目のパターンは 通りである。
2つ目は、上下の横列と左右の縦列の4本を奇数回選び、中央横列と中央縦列を偶数回選ぶ場合である。4回の操作では、この4本をそれぞれ1回ずつ選ぶしかないので 通りである。
よって有利な出方は 通りである。全事象は 通りだから である。