問題
平面において，，がともに整数であるとき，点を格子点とよぶ。を正の整数とするとき，放物線と軸および軸によって囲まれた図形をとする。
(1) の周上の格子点の数をで表せ。
(2) の周上および内部の格子点の数をで表せ。
(3) の面積をとする。を求めよ。
出典：東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
領域は文系後期第1問と同じく 、 と見て、周上と内部込みの格子点を縦に数える。(3)では面積 を で求める。 も3次式として展開しておくと、 の極限は最高次係数の比較で決まる。
解答
(1)
放物線は である。 軸、 軸とともに囲まれる領域は である。
周上の格子点を、 軸、 軸、放物線に分けて数える。 軸上は 個、 軸上は 個、放物線上は整数 に対して1個ずつあり 個である。3つの頂点 を重複して数えているので3を引く。したがって である。
(2)
整数 を固定すると、 は を取り、格子点は 個ある。よって である。したがって である。
(3)
面積は である。 と見れば である。
一方、(2)の式を展開すると である。よって
であり、 で最高次項の比だけが残る。したがって である。