東北大学 2011年度
理系数学 前期 第4問

解答

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とおく。条件より

である。また $\overrightarrow{OP}=t\vec{a},\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\vec{b}$ である。

まず $R$ の位置ベクトルを求める。$R$ は線分 $AQ$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて $\overrightarrow{OR}=(1-\lambda )\vec{a}+\frac{\lambda }{2}\vec{b}$ と書ける。また、$R$ は線分 $BP$ 上にもあるので、ある実数 $\mu$ を用いて $\overrightarrow{OR}=\mu t\vec{a}+(1-\mu )\vec{b}$ と書ける。係数を比較して $1-\lambda =\mu t,\frac{\lambda }{2}=1-\mu$ である。第2式から $\mu =1-\lambda /2$ であり、これを第1式へ代入すると $1-\lambda =t\left(1-\frac{\lambda }{2}\right)$ である。整理して $1-t=\lambda \left(1-\frac{t}{2}\right)$ だから、$0<t<1$ より $2-t>0$ で $\lambda =\frac{2(1-t)}{2-t}$ となる。したがって

である。

次に $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ であるから、直交条件は $\overrightarrow{OR}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ である。分母 $2-t$ は正なので、分子だけを調べればよい。

である。

したがって、$\overrightarrow{OR}$ と $\overrightarrow{AB}$ が垂直になる $\theta$ が存在する条件は $(12t-6)\cos \theta +4-13t=0$ を満たす $\cos \theta \in (-1,1)$ が存在することである。 $t=1/2$ のとき、左辺は $4-13\cdot \frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$ となり、$\theta$ によらず0にならない。$t\ne 1/2$ のときは $\cos \theta =\frac{13t-4}{12t-6}$ である。よって垂直になる $\theta$ が存在する条件は $\left|\frac{13t-4}{12t-6}\right|<1$ である。これは $(13t-4{)}^2<(12t-6{)}^2$ と同値であり、整理すると $25t^2+40t-20<0$ すなわち $5t^2+8t-4<0$ である。因数分解して $(5t-2)(t+2)<0$ となる。$0<t<1$ なので、これは $0<t<\frac{2}{5}$ を意味する。

したがって、ある $\theta$ で垂直になるのは $0<t<2/5$ のときである。求めるのは、どのように $\theta$ をとっても垂直にならない $t$ の範囲なので $\boxed{\frac{2}{5}\leqq t<1}$ である。なお $t=2/5$ では $\cos \theta =-1$ が必要になるが、問題では $0<\theta <\pi$ なので $\theta =\pi$ は含まれず、垂直にはならない。