問題
を実数とする．円は点で直線を接線にもち，点を通るものとする．の中心をとして，以下の問いに答えよ．
(1) ，をを用いて表せ．
(2) が動くときの点の軌跡と直線で囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
接点 での接線が なので、中心はその接線に垂直な直線、つまり傾き1の直線上にある。中心を とおき、接点までの距離と点 までの距離が等しいことから を決める。軌跡は 、 から と表せる。面積は水平切片で見ると、直線 との間の幅が になるので、 で積分する。
解答
(1)
円の中心 から接点 に引いた半径は、接線 に垂直である。直線 の傾きは なので、半径の方向の傾きは である。したがって、中心 は接点 を通る傾き1の直線上にある。
そこで、ある実数 を用いて とおく。接点 までの距離の2乗は である。一方、円は点 を通るので、 までの距離の2乗も同じであり、 が成り立つ。
左辺を展開して整理すると である。したがって より を得る。よって である。すなわち である。
(2)
(1) より である。 を消去すると、点 の軌跡は である。これは を満たす曲線である。
直線 との交点を求めると だから であり、交点は である。
面積は水平な切片で求める。 に対して、軌跡の式から である。したがって、その高さ における左右の 座標は であり、横幅は である。よって求める面積は である。 とおくと
であるから
である。