東北大学 2011年度
理系数学 前期 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 図形と方程式、関数
- 解法
- パラメータ処理、グラフの概形、範囲評価
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 22分
問題
実数aに対し，不等式y≦2ax−a2+2a+2の表す座標平面上の領域をD(a)とおく．
(1) −1≦a≦2を満たすすべてのaに対しD(a)の点となるような点(p,q)の範囲を図示せよ．
(2) −1≦a≦2を満たすいずれかのaに対しD(a)の点となるような点(p,q)の範囲を図示せよ．
出典：東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
固定した点 (p,q) について、条件 (p,q)∈D(a) を q≦−a2+2a(p+1)+2 と書き、右辺を a の2次関数として見る。(1) はすべての a∈[−1,2] で成り立つ条件なので、この2次関数の区間最小値を使う。係数が負で下に開く放物線だから、区間での最小値は端点で生じる。(2) はいずれかの a で成り立てばよいので、区間最大値を使う。頂点 a=p+1 が区間内にあるかで3つに場合分けし、境界線・境界放物線を含む下側の領域として図示する。
解答
点 (p,q) が D(a) に属する条件は q≦2ap−a2+2a+2 すなわち q≦−a2+2a(p+1)+2 である。以下、右辺を g(a)=−a2+2a(p+1)+2 とおく。
(1)
(p,q) が −1≦a≦2 を満たすすべての a に対して D(a) の点となる条件は q≦g(a)(−1≦a≦2) である。したがって q≦min−1≦a≦2g(a) を求めればよい。 g(a) は a2 の係数が負、すなわち下に開く2次関数であるから、閉区間での最小値は端点で生じる。端点の値は g(−1)=−1−2(p+1)+2=−2p−1 および g(2)=−4+4(p+1)+2=4p+2 である。よって q≦min(−2p−1,4p+2) である。
2つの値を比較すると 4p+2≦−2p−1⟺p≦−21 である。したがって求める範囲は
⎩⎨⎧q≦4p+2q≦−2p−1(p≦−21),(p≧−21)
である。図示すると、2直線 q=4p+2、q=−2p−1 のうち低い方を境界とし、その下側すべてである。境界は含む。
(2)
(p,q) が −1≦a≦2 を満たすいずれかの a に対して D(a) の点となる条件は q≦g(a) を満たす a∈[−1,2] が存在することである。したがって q≦max−1≦a≦2g(a) を求めればよい。
平方完成すると g(a)=−(a−(p+1))2+(p+1)2+2 である。頂点は a=p+1 であるから、この頂点が区間 [−1,2] に入るかどうかで分ける。 p+1<−1、すなわち p<−2 のとき、[−1,2] では a=−1 で最大となるので maxg(a)=g(−1)=−2p−1 である。−1≦p+1≦2、すなわち −2≦p≦1 のとき、頂点で最大となるので maxg(a)=(p+1)2+2 である。p+1>2、すなわち p>1 のとき、[−1,2] では a=2 で最大となるので maxg(a)=g(2)=4p+2 である。
したがって求める範囲は
⎩⎨⎧q≦−2p−1q≦(p+1)2+2q≦4p+2(p≦−2),(−2≦p≦1),(p≧1)
である。図示すると、左側の直線 q=−2p−1、中央の放物線 q=(p+1)2+2、右側の直線 q=4p+2 をつないだ境界の下側すべてであり、境界も含む。
