問題
先生と3人の生徒，，がおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉3個、白玉7個，全部で10個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，1の目が出たらが，2または3の目が出たらが，その他の目が出たらが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を続けて行うものとして以下の問いに答えよ．ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．
(1) 2回目の操作が終わったとき，が2個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(2) 2回目の操作が終わったとき，が少なくとも1個の赤玉を手に入れている確率を求めよ．
(3) 3回目の操作で，が赤玉を取り出す確率を求めよ．
方針
(1)(2) は文系第3問と同じ構造で、選ばれる人の確率と、戻さずに玉を取る色の確率を分けて計算する。(1) は2回とも かつ2回とも赤玉。(2) は が選ばれた回数 で分け、赤玉を1個も得ない余事象を引く。(3) は3回目の操作に注目する。3回目に取り出される玉が赤である確率は、前2回の結果を平均しても最初の赤玉割合 のままであり、これと が選ばれる確率 を掛ける。
解答
(1)
1回の操作で が選ばれる確率は である。2回目の操作が終わった時点で が2個の赤玉を手に入れているには、2回とも が選ばれ、2回とも赤玉を取り出していなければならない。
玉は戻さないので、2個続けて赤玉を取り出す確率は である。したがって求める確率は である。
(2)
1回の操作で が選ばれる確率は である。2回のうち が選ばれる回数を とすると である。 が赤玉を1個も手に入れない確率を求める。 のときはその確率は である。 のときは、 が取る1個が白玉であればよいので である。 のときは、 が取る2個がどちらも白玉であればよいので である。
したがって が赤玉を1個も得ない確率は である。よって、少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率は である。
(3)
3回目の操作で が選ばれる確率は である。次に、3回目に取り出される玉が赤玉である確率を考える。
取り出す人の決まり方は玉の色と独立であり、玉だけに注目すれば、10個の玉を無作為に順に取り出しているのと同じである。したがって、3番目に取り出される玉が最初の3個の赤玉のどれかである確率は である。
よって、3回目の操作で が赤玉を取り出す確率は である。