問題
実数に対して，の方程式が，相異なる4つの実数解をもつようなの範囲を求めよ．
出典：東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
絶対値の中身が変わるで区間を分け，各区間で2次方程式に直して根の個数を数える。区間端点での根は隣の区間と重複しないように扱う必要がある。中央区間で2根をもつ場合と，側で大きいにより2根をもつ場合の両方があり，既存の小さい範囲だけで止めないことが重要である。
解答
方程式を とおく。絶対値が変わる点はである。
まずでは だから である。この2次式はで正となり，での値はである。したがってに根を1つもつ条件は すなわち である。
次にでは なので である。この区間で根の個数を調べる。判別式は である。符号と端点の値 を合わせて調べると，で相異なる2根をもつのは のときである。またではこの区間に1根をもつ。
最後にでは だから である。であるから，のときはに1根をもつ。さらに，では頂点がに入り，判別式 が正で，頂点での値が負になると2根をもつ。これは のときである。では重解なので相異なる根は1つだけである。
以上を合わせて，相異なる4つの実数解をもつ場合を数える。
では，に1根，に2根，に1根あり，合計4根である。
でも，同様に根である。
またでは，に1根，に1根，に2根あり，合計4根である。
端点ではやの重複，または重解が起こるため，相異なる4根にはならない。したがって求める範囲は である。