東北大学 2009年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1) $a + b = c$ であるとき， $a^{3} + b^{3} + 3 ab c = c^{3}$ が成り立つことを示せ．

(2) $a + b ≧ c$ であるとき， $a^{3} + b^{3} + 3 ab c ≧ c^{3}$ が成り立つことを示せ．

出典：東北大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

(1)は $a + b = c$ をそのまま代入して三乗の展開を使う。(2)は $s = a + b$ とおき，(1)で得られる恒等式 $a^{3} + b^{3} + 3 ab s = s^{3}$ を利用して，示すべき差を $(s - c)$ でくくる。 $s - c ≧ 0$ は仮定から従うので，残る因子は $ab ≦ (a + b)^{2} /4 = s^{2} /4$ を使って非負であることを示す。

解答

(1)

$a + b = c$ であるから $c^{3} = (a + b)^{3}$ である。右辺を展開すると $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)$ である。 $a + b = c$ を代入して $c^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab c$ となる。よって $a^{3} + b^{3} + 3 ab c = c^{3}$ である。

(2)

$s = a + b$ とおく。仮定より $s ≧ c$ である。また(1)の展開から，任意の実数 $a, b$ について $a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b) = (a + b)^{3}$ すなわち $a^{3} + b^{3} + 3 ab s = s^{3}$ が成り立つ。

示すべき差を計算すると

a^{3} + b^{3} + 3 ab c - c^{3} = (s^{3} - 3 ab s) + 3 ab c - c^{3} = s^{3} - c^{3} - 3 ab (s - c) = (s - c) (s^{2} + sc + c^{2} - 3 ab)

である。

ここで $(a - b)^{2} ≧ 0$ より $(a + b)^{2} ≧ 4 ab$ だから $ab ≦ \frac{s ^{2}}{4}$ である。したがって

s^{2} + sc + c^{2} - 3 ab ≧ s^{2} + sc + c^{2} - \frac{3 s ^{2}}{4} = \frac{s ^{2}}{4} + sc + c^{2} = (\frac{s}{2} + c)^{2} ≧ 0

である。

また $s - c ≧ 0$ なので $(s - c) (s^{2} + sc + c^{2} - 3 ab) ≧ 0$ である。よって $a^{3} + b^{3} + 3 ab c ≧ c^{3}$ が成り立つ。

東北大学 2009年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2009年度
理系数学前期第1問