東北大学 2009年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$a$ を $0 ≦ a ≦ \frac{π}{2}$ を満たす実数とする．以下の問いに答えよ．

(1) 実数 $θ$ に対して $sin θ$ と $sin (θ - 2 a)$ のうち小さくないほうを $f (θ)$ とおく．すなわち，

sin θ ≧ sin (θ - 2 a) のとき f (θ) = sin θ, sin θ < sin (θ - 2 a) のとき f (θ) = sin (θ - 2 a)

となる関数 $f (θ)$ を考える．このとき定積分 $I = \int_{0}^{π} f (θ) d θ$ を求めよ．

(2) $a$ を $0 ≦ a ≦ \frac{π}{2}$ の範囲で動かすとき，(1)の $I$ の最大値を求めよ．

出典：東北大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

どちらの正弦が大きいかは差 $sin θ - sin (θ - 2 a)$ を積和公式で調べる。 $0 ≦ a ≦ π /2$ では符号は $cos (θ - a)$ で決まり，切り替わりは $θ = a + π /2$ である。そこで積分区間を2つに分けて $I (a)$ を求める。最大化は $s = sin a$ と置いて， $I = 2 + 2 s - 2 s^{2}$ という下に開く2次式の最大に帰着する。

解答

(1)

2つの関数の差を調べると $sin θ - sin (θ - 2 a) = 2 cos (θ - a) sin a$ である。 $0 ≦ a ≦ π /2$ なので $sin a ≧ 0$ である。したがって， $a = 0$ では2つは等しく， $a > 0$ では大小は $cos (θ - a)$ の符号で決まる。

$0 ≦ θ ≦ π$ において， $cos (θ - a) ≧ 0$ となるのは $0 ≦ θ ≦ a + \frac{π}{2}$ である。よって

f (θ) = ⎩ ⎨ ⎧ sin θ sin (θ - 2 a) (0 ≦ θ ≦ a + \frac{π}{2}), (a + \frac{π}{2} ≦ θ ≦ π)

である。したがって

I = \int_{0}^{a + π /2} sin θ d θ + \int_{a + π /2}^{π} sin (θ - 2 a) d θ

である。

計算すると

\int_{0}^{a + π /2} sin θ d θ = 1 - cos (a + \frac{π}{2}) = 1 + sin a

であり，

\int_{a + π /2}^{π} sin (θ - 2 a) d θ = [- cos (θ - 2 a)]_{a + π /2}^{π} = - cos (π - 2 a) + cos (\frac{π}{2} - a) = cos 2 a + sin a

である。よって $I = 1 + 2 sin a + cos 2 a = 2 + 2 sin a - 2 sin^{2} a$ である。したがって $I = 2 + 2 sin a - 2 sin^{2} a$ である。

別解。小さくないほうは

f (θ) = \frac{sin θ + sin ( θ - 2 a ) + ∣ sin θ - sin ( θ - 2 a ) ∣}{2}

とも表せる。差は $2 sin a cos (θ - a)$ なので，絶対値の積分は符号が変わる $θ = a + π /2$ で分けることになり，同じ式 $I = 2 + 2 sin a - 2 sin^{2} a$ を得る。

(2)

$s = sin a$ とおく。 $0 ≦ a ≦ π /2$ より $0 ≦ s ≦ 1$ であり，(1)の結果は $I = 2 + 2 s - 2 s^{2}$ となる。平方完成すると $I = \frac{5}{2} - 2 (s - \frac{1}{2})^{2}$ である。したがって最大となるのは $s = \frac{1}{2}$ すなわち $a = \frac{π}{6}$ のときであり，最大値は $\frac{5}{2}$ である。

東北大学 2009年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2009年度
理系数学前期第4問