問題
袋の中に青玉が7個，赤玉が3個入っている．袋から1回につき1個ずつ玉を取り出す．一度取り出した玉は袋に戻さないとして，以下の問いに答えよ．
(1) 4回目に初めて赤玉が取り出される確率を求めよ．
(2) 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率を求めよ．
(3) 赤玉がちょうど8回目ですべて取り出される確率を求めよ．
(4) 4回目が終わった時点で取り出されている赤玉の個数の期待値を求めよ．
出典：東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
前期文系第3問と同じく，赤玉3個の位置を10回の取り出し位置から選ぶと考える。(1)は直接の順序確率，(2)(3)は赤玉の位置集合で数える。(4)は4回目までの赤玉の個数を，各回に赤玉が出たかどうかの和として見れば，期待値の加法性により各回の赤玉確率を足せばよい。
解答
(1)
4回目に初めて赤玉が取り出されるには，最初の3回が青玉で，4回目が赤玉であればよい。よって である。
(2)
10回の取り出し位置のうち，赤玉3個が現れる位置だけに注目する。赤玉3個の位置は全体で 通りあり，どれも同様に確からしい。8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されているためには，赤玉3個の位置がすべて1回目から8回目までに入っていればよい。したがって である。
(3)
赤玉がちょうど8回目ですべて取り出されるとは，8回目が3個目の赤玉であるということである。したがって8回目を赤玉の位置として固定し，残り2個の赤玉の位置を1回目から7回目までの中から選べばよい。よって である。
(4)
4回目までに取り出されている赤玉の個数をとする。回目に赤玉が出たとき1，そうでないとき0をとる変数をとすると である。各回について，その位置に赤玉が来る確率は である。したがって期待値の加法性より である。