問題
を2以上の自然数，をを満たす実数とする．縦，横の長方形の紙を用いて，次のように長方形，を作る．
長方形の作り方．枚の紙を横に並べて，順に1辺の正方形をのりしろとして（隣り合う紙が横に重なるように）はり合わせ，縦の横長の長方形を作る．
長方形の作り方．枚の紙を縦に並べて，隣り合う紙が縦重なるようにはり合わせて，横の長方形を作る．
長方形，の面積をそれぞれおよびとおくとき，以下の問いに答えよ．
(1) とを求めよ．
(2) のとき，となるの範囲を求めよ．
(3) となる2以上の自然数があるようなの範囲を求めよ．
出典：東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
貼り合わせ後の長方形の縦横を，重なった部分を引いて数える。長方形では横方向に回，幅1cmの重なりが生じる。長方形では縦方向に回，幅cmの重なりが生じる。(3)ではをの不等式に直し，右辺がで最大となるのがであることを使う。
解答
(1)
長方形では，横の長さがcmの紙を枚横に並べるので，重なりを考えなければ横の長さはcmである。隣り合う紙はか所あり，それぞれ横cmずつ重なるから，実際の横の長さは である。縦の長さは1cmなので である。
長方形では，縦1cmの紙を枚縦に並べ，隣り合う紙が縦cmずつ重なる。したがって縦の長さは である。横の長さはcmなので である。
(2)
のとき であり， である。したがって は すなわち である。もともとなので，求める範囲は である。
(3)
(1)より であり，条件は である。右辺を整理すると だから である。なのでであり， となる。
ここで はでが大きくなるほど小さくなる。実際，のとき最大で である。したがって，条件を満たす2以上の自然数が存在するための必要十分条件は である。よって を得る。