東北大学 2009年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $p$ ， $q$ は $a d - b c > 0$ ， $p > 0$ ， $q > 0$ を満たす実数とする．2つの行列 $A = (a c b d)$ と $P = (p 0 0 q)$ が $A P A = P^{2}$ を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $P^{3} A = A P^{3}$ が成り立つことを示せ．

(2) $A$ を $p$ と $q$ で表せ．

出典：東北大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

$A P A = P^{2}$ を成分で比較する。非対角成分から $b (p a + q d) = 0$ ， $c (p a + q d) = 0$ が得られるので，まず $p a + q d = 0$ の場合が行列式条件 $a d - b c > 0$ に反することを示す。すると $b = c = 0$ が従い， $A$ と $P$ は対角行列になる。(2)では対角成分から $a^{2} = p$ ， $d^{2} = q$ を得て， $a d > 0$ により符号が同じであることを使う。

解答

(1)

A = (a c b d), P = (p 0 0 q)

である。 $A P A$ を計算すると

A P A = (p a^{2} + q b c c (p a + q d) b (p a + q d) p b c + q d^{2})

である。一方

P^{2} = (p^{2} 0 0 q^{2})

なので，非対角成分から $b (p a + q d) = 0, c (p a + q d) = 0$ が成り立つ。

ここで $p a + q d = 0$ と仮定する。このとき $d = - p a / q$ である。また左上成分の等式 $p a^{2} + q b c = p^{2}$ より $b c = \frac{p ^{2} - p a ^{2}}{q}$ である。したがって $a d - b c = a (- \frac{p a}{q}) - \frac{p ^{2} - p a ^{2}}{q} = - \frac{p ^{2}}{q} < 0$ となり，仮定 $a d - b c > 0$ に反する。よって $p a + q d \neq = 0$ である。したがって $b = 0, c = 0$ である。

すると $A$ も $P$ も対角行列であるから，対角成分同士の積は順序を入れ替えても同じであり， $P^{3} A = A P^{3}$ が成り立つ。

(2)

(1)より $b = c = 0$ である。 $A P A = P^{2}$ の対角成分を比較すると $p a^{2} = p^{2}, q d^{2} = q^{2}$ である。 $p > 0$ ， $q > 0$ より $a^{2} = p, d^{2} = q$ である。また $a d - b c = a d > 0$ なので， $a$ と $d$ は同符号である。したがって

A = (p 0 0 q) または A = (- p 0 0 - q)

である。逆に，これらの行列はいずれも $a d - b c > 0$ かつ $A P A = P^{2}$ を満たす。

東北大学 2009年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2009年度
理系数学前期第5問