東北大学 2008年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$k > 1$ として， $f (x) = x^{2} + 2 k x$ とおく．曲線 $y = f (x)$ と円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ の2つの交点の内で，第1象限にあるものを $P$ とし，第3象限にあるものを $Q$ とする．点 $O (0, 0)$ ， $A (1, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ に対して， $α = ∠ A O P$ ， $β = ∠ B O Q$ とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1) $k$ を $α$ で表せ．

(2) 曲線 $y = f (x)$ と円 $C$ で囲まれる2つの図形の内で， $y = f (x)$ の上側にあるものの面積 $S (k)$ を $α$ と $β$ で表せ．

(3) $k \to \infty lim S (k)$ を求めよ．

出典：東北大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

交点を単位円上の角度で表し， $P = (cos α, sin α)$ ， $Q = (- cos β, - sin β)$ を曲線の式へ代入して $k$ と角度の関係を得る。面積は上側の円弧の下の面積から放物線の下の面積を引いて求める。極限では交点条件から $cos α$ ， $cos β$ を評価し，面積式の各項が0へ近づくことを確認する。

解答

(1)

$P$ は第1象限の単位円上にあるので $P = (cos α, sin α)$ である。これを $y = x^{2} + 2 k x$ に代入すると $sin α = cos^{2} α + 2 k cos α$ である。 $cos α > 0$ だから $k = \frac{s i n α - c o s ^{2} α}{2 c o s α}$ である。

(2)

$Q$ は第3象限にあり， $β = ∠ B O Q$ であるから $Q = (- cos β, - sin β)$ である。求める図形は放物線の上側にあり，単位円の上側の弧を上端にもつので，面積は $S (k) = \int_{- c o s β}^{c o s α} {1 - x^{2} - (x^{2} + 2 k x)} d x$ である。

まず円の部分を求める。単位円で， $x = - cos β$ から $x = cos α$ までの上半分の面積は，扇形と直角三角形の面積を用いて $\frac{1}{2} {π - α - β + sin α cos α + sin β cos β}$ である。一方，放物線の部分は

\int_{- c o s β}^{c o s α} (x^{2} + 2 k x) d x = \frac{cos ^{3} α + cos ^{3} β}{3} + k (cos^{2} α - cos^{2} β)

である。したがって

S (k) = \frac{1}{2} {π - α - β + sin α cos α + sin β cos β} - \frac{cos ^{3} α + cos ^{3} β}{3} - k (cos^{2} α - cos^{2} β)

である。

(3)

(1)より $2 k cos α = sin α - cos^{2} α$ である。右辺は1以下なので $0 < cos α ≦ \frac{1}{2 k}$ であり， $k \to \infty$ のとき $cos α \to 0$ ，すなわち $α \to π /2$ である。

また， $Q = (- cos β, - sin β)$ を曲線に代入すると $- sin β = cos^{2} β - 2 k cos β$ であるから $2 k cos β = sin β + cos^{2} β$ である。右辺は2以下なので $0 < cos β ≦ \frac{1}{k}$ であり， $k \to \infty$ のとき $cos β \to 0$ ，すなわち $β \to π /2$ である。

さらに

0 ≦ k ∣ cos^{2} α - cos^{2} β ∣ ≦ k (cos^{2} α + cos^{2} β) ≦ \frac{1}{4 k} + \frac{1}{k}

であるから $k (cos^{2} α - cos^{2} β) \to 0$ である。

以上を(2)の式に代入すると， $π - α - β \to 0$ ， $sin α cos α \to 0$ ， $sin β cos β \to 0$ ，また3乗の項も0へ近づく。したがって $lim_{k \to \infty} S (k) = 0$ である。

東北大学 2008年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2008年度
理系数学前期第6問