問題
多項式について，次の条件(i)，(ii)，(iii)を考える．
(i)
(ii)
(iii)
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 条件(i)をみたす多項式の次数は4以下であることを示せ．
(2) 条件(i)，(ii)，(iii)をすべてみたす多項式を求めよ．
出典：東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
(1)では，条件(i)の左辺 に負の次数の項が出ないためには の次数が4以下でなければならないことを示す。(2)は4次以下の一般形で係数比較し，条件(i)から係数の対称性，条件(ii)から に関する対称性を読み取る。最後に で倍率を決める。
解答
(1)
が零多項式でないとし，その次数を ，最高次の係数を とする。すなわち である。このとき となる。
もし ならば であり， には負の次数の項が現れる。これは多項式 と等しくなれない。したがって条件(i)を満たす多項式の次数は である。零多項式の場合も主張に反しない。
(2)
(1)より とおける。条件(i)から である。これが に等しいので，係数比較により である。よって と書ける。
条件(ii)を用いる。 を展開して係数を比較すると， の係数から となるので である。また の係数から となる。ここに を代入して を得る。
したがって である。条件(iii)より だから である。よって である。
別解。上の多項式は である。 は を に替えても変わらないので条件(ii)を満たす。また であるから，2乗すると条件(i)も満たす。条件(iii)から倍率が1に決まるので，同じ多項式が得られる。