問題
点が次のルール(i)，(ii)に従って数直線上を移動するものとする．
(i) の目が同じ割合で出るサイコロを振り，出た目の数をとする．の座標について，ならば座標の点へ移動し，ならば座標の点へ移動する．
(ii) 原点に移動したら終了し，そうでなければ(i)を繰り返す．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) の座標がのいずれかであるとき，ちょうど3回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．
(2) の座標がのいずれかであるとき，ちょうど回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．
(3) の座標が8であるとき，ちょうど回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．
方針
原点からの距離を状態として見る。距離 から では，1回で原点に行く確率が常に ，失敗しても再び同じ範囲の距離に戻るため，終了時刻は等比型になる。初期距離8では1回後の距離が になり，距離7だけはさらに1回では終了できないので， と を分けて数える。
解答
(1)
点の座標の絶対値を とする。 のとき，1回で原点へ移るのは，サイコロの目がちょうど の場合である。したがって1回で終了する確率は であり，終了しない確率は である。終了しなかった場合も，次の距離は から の範囲に戻る。
よってちょうど3回で終了する確率は，最初の2回で終了せず，3回目で終了する確率だから である。
(2)
同じ理由により，ちょうど 回で終了するには，最初の 回で終了せず， 回目で終了すればよい。したがって である。
(3)
初めの座標が8のとき，1回目の後の距離は のいずれかであり，それぞれ確率 で起こる。
まず のときは原点に届かないので，確率は である。
次に を考える。2回目で終了できるのは，1回目の後の距離が のいずれかである場合だけである。これは5通りで，その後に対応する目を出す確率が だから である。
最後に とする。1回目の後の距離が の場合は，そこからさらに 回目で終了する確率が である。これが5通り分あるので寄与は
である。
一方，1回目の後の距離が7の場合は，そこから1回では終了できない。距離7からちょうど 回で終了する確率は， のとき である。ここでは なので，この寄与は
である。
したがって では
となる。結論は
である。