東北大学 2008年度
理系数学 前期 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- ベクトル、数列
- 解法
- 内積の利用、和の計算、極限計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
nを2以上の自然数とする．平面上の△OA1A2は∠OA2A1=90∘，OA1=1，A1A2=n1をみたすとする．A2からOA1へ垂線をおろし，交点をA3とする．A3からOA2へ垂線をおろし，交点をA4とする．以下同様に，k=4,5,⋯について，AkからOAk−1へ垂線をおろし，交点をAk+1として，順番にA5,A6,⋯を定める．hk=AkAk+1とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1) k=1,2,⋯のとき，ベクトルhkとhk+1の内積hk⋅hk+1をnとkで表せ．
(2) Sn=k=1∑nhk⋅hk+1とおくとき，極限値n→∞limSnを求めよ．ここで、自然対数の底eについて，e=n→∞lim(1+n1)nであることを用いてもよい．
出典：東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
2本の半直線のなす角を ϕ とし，最初の直角三角形から sinϕ=1/n，cosϕ=(n−1)/n を求める。垂線の長さは操作のたびに cosϕ 倍され，隣接する垂線ベクトルの内積は長さの積に −cosϕ を掛けたものになる。最後は等比数列の和を取り，(1−1/n)n→1/e に帰着させる。
解答
(1)
∠A1OA2=ϕ とおく。△OA1A2 は A2 で直角で，OA1=1，A1A2=1/n である。したがって sinϕ=OA1A1A2=n1 であり，cosϕ=1−n1=nn−1 である。
最初の垂線ベクトルの長さは ∣h1∣=A1A2=n1 である。以後，片方の半直線からもう片方の半直線へ垂線を下ろすたびに，同じ角 ϕ をもつ直角三角形ができるので，長さは毎回 cosϕ 倍になる。よって
である。
また，隣り合う hk と hk+1 のなす角の余弦は，向きまで考えると −cosϕ=−nn−1 である。したがって
hk⋅hk+1=∣hk∣∣hk+1∣(−nn−1)
であり，長さを代入して
を得る。
(2)
(1)より Sn=−n1∑k=1n(1−n1)k である。ここで r=1−n1 とおくと ∑k=1nrk=1−rr(1−rn) であり，1−r=1/n だから
Sn=−r(1−rn)=−(1−n1){1−(1−n1)n}
である。
与えられた e の定義から limn→∞(1−n1)n=e1 である。したがって limn→∞Sn=−1⋅(1−e1)=e1−1 である。
