東北大学 2008年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$θ$ を $0 < θ < \frac{2 π}{3}$ の範囲にある実数とし，空間の4点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ が， $O A = O B = O C = 1$ かつ $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = θ$ をみたすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $△ A B C$ の重心を $G$ とするとき， $A G$ と $O G$ をそれぞれ $θ$ で表せ．

(2) $θ$ を動かしたときの， $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ を頂点とする四面体の体積の最大値を求めよ．

出典：東北大学 2008年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

$u = cos θ$ とおき，3本の単位ベクトル $O A, O B, O C$ の内積がすべて $u$ であることを使う。重心 $G$ は3本のベクトルの平均で表せるので， $O G$ は内積計算で求める。 $A B C$ は正三角形で，四面体の高さは対称性により $O G$ になるから，体積を $u$ の1変数関数にし， $- 1/2 < u < 1$ で最大化する。

解答

(1)

$u = cos θ$ とおく。 $O A = O B = O C = 1$ であり，3つの中心角がすべて $θ$ なので

O A \cdot O B = O B \cdot O C = O C \cdot O A = u

である。

まず， $A B C$ の一辺を求めると $A B^{2} = ∣ O B - O A ∣^{2} = 1 + 1 - 2 u = 2 (1 - u)$ である。したがって $A B C$ は一辺 $2 (1 - u)$ の正三角形である。正三角形の重心は中線を $2 : 1$ に分けるので $A G = \frac{1}{3} A B = \frac{2 ( 1 - u )}{3}$ である。

次に

O G = \frac{O A + O B + O C}{3}

である。よって

O G^{2} = \frac{1}{9} O A + O B + O C^{2}

であり，右辺を内積で展開すると $O G^{2} = \frac{1}{9} {3 + 2 (u + u + u)} = \frac{1 + 2 u}{3}$ となる。したがって

A G = \frac{2 ( 1 - cos θ )}{3}, O G = \frac{1 + 2 cos θ}{3}

である。

(2)

$0 < θ < 2 π /3$ なので $- \frac{1}{2} < u < 1$ である。 $A B C$ の面積は，一辺が $2 (1 - u)$ の正三角形であるから $\frac{3}{4} {2 (1 - u)}^{2} = \frac{3}{2} (1 - u)$ である。また $O$ は3点 $A, B, C$ から等距離にあり， $G$ も正三角形 $A B C$ の中心であるから，直線 $O G$ は平面 $A B C$ に垂直である。したがって四面体の高さは $O G$ である。

よって体積 $V$ は

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (1 - u) \cdot \frac{1 + 2 u}{3} = \frac{( 1 - u ) 1 + 2 u}{6}

である。 $V > 0$ なので， $V$ を最大にするには $36 V^{2} = (1 - u)^{2} (1 + 2 u)$ を最大にすればよい。 $F (u) = (1 - u)^{2} (1 + 2 u)$ とおく。展開すると $F (u) = 1 - 3 u^{2} + 2 u^{3}$ であり， $F^{'} (u) = - 6 u + 6 u^{2} = - 6 u (1 - u)$ である。区間 $- 1/2 < u < 1$ では， $F^{'} (u) > 0$ が $- 1/2 < u < 0$ ， $F^{'} (u) < 0$ が $0 < u < 1$ で成り立つ。したがって $F (u)$ は $u = 0$ で最大になる。

このとき $V = \frac{( 1 - 0 ) 1}{6} = \frac{1}{6}$ である。よって最大値は $\frac{1}{6}$ である。

東北大学 2008年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2008年度
理系数学前期第3問