問題
を整数とし，を2以上の整数で素数とする．3次方程式
が正の整数を解にもつとき，以下の問いに答えよ．
(1) であることを示せ．
(2) 上の3次方程式が（は実数）を解にもつとき，の値を求めよ．ここで，は虚数単位とする．
出典：東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第6問
方針
正の整数解 を代入すると， が素数 を割ることが分かるので， または に限られる。 は整数方程式として不可能であることを示す。後半は から を得て，残りの2次方程式の2解が であることを，和と積で処理する。
解答
(1)
を方程式に代入すると である。左辺をくくると である。 は素数で， は正の整数だから である。
もし なら，上の式を で割って となる。しかし左辺を について見ると であり，この式が1になるには が整数解をもたなければならない。この二次方程式の判別式は である。 なので となり，実数解すら存在しない。したがって は不可能である。
よって である。
(2)
(1)より は解である。したがって すなわち である。方程式を で割ると となる。
係数は実数なので， が解なら も解である。この2つは残りの二次方程式 の解である。解の和と積を比べると であり， である。前者から なので，後者は となる。両辺を4倍して整理すると すなわち である。因数分解して である。 は整数なので，可能なのは だけである。このとき である。実際に は素数であり，条件を満たす。
よって求める値は である。