東北大学 2008年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{4 a _{n} + 1}{2 a _{n} + 3} (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 2つの実数 $α$ と $β$ に対して，

b_{n} = \frac{a _{n} + β}{a _{n} + α} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおく． ${b_{n}}$ が等比数列となるような $α$ と $β$ $(α > β)$ を1組求めよ．

(2) 数列 ${a_{n}}$ の一般項 $a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

漸化式の分数変換には固定値を使う。まず $x = (4 x + 1) / (2 x + 3)$ を解いて固定値 $1$ と $- 1/2$ を見つけ，その2つから $(a_{n} - 1) / (a_{n} + 1/2)$ を作る。この比が一定倍率で変化することを直接計算し，等比数列にしてから $a_{n}$ を解き戻す。

解答

(1)

漸化式 $a_{n + 1} = \frac{4 a _{n} + 1}{2 a _{n} + 3}$ の固定値を調べる。 $x = (4 x + 1) / (2 x + 3)$ とすると $x (2 x + 3) = 4 x + 1$ であり， $2 x^{2} - x - 1 = 0$ となる。よって $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ から，固定値は $x = 1, x = - \frac{1}{2}$ である。

そこで $b_{n} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} + 1/2}$ とおく。これは問題の形 $b_{n} = \frac{a _{n} + β}{a _{n} + α}$ で $α = \frac{1}{2}, β = - 1$ を選んだものであり， $α > β$ を満たす。

実際に比を計算する。まず

a_{n + 1} - 1 = \frac{4 a _{n} + 1}{2 a _{n} + 3} - 1 = \frac{2 a _{n} - 2}{2 a _{n} + 3} = \frac{2 ( a _{n} - 1 )}{2 a _{n} + 3}

である。また

a_{n + 1} + \frac{1}{2} = \frac{4 a _{n} + 1}{2 a _{n} + 3} + \frac{1}{2} = \frac{8 a _{n} + 2 + 2 a _{n} + 3}{2 ( 2 a _{n} + 3 )} = \frac{5 ( 2 a _{n} + 1 )}{2 ( 2 a _{n} + 3 )} = \frac{5 ( a _{n} + 1/2 )}{2 a _{n} + 3}

である。したがって

b_{n + 1} = \frac{a _{n + 1} - 1}{a _{n + 1} + 1/2} = \frac{2}{5} \frac{a _{n} - 1}{a _{n} + 1/2} = \frac{2}{5} b_{n}

である。よって ${b_{n}}$ は公比 $2/5$ の等比数列である。

(2)

$a_{1} = 2$ より $b_{1} = \frac{2 - 1}{2 + 1/2} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5}$ である。(1)より $b_{n} = b_{1} (\frac{2}{5})^{n - 1} = (\frac{2}{5})^{n}$ である。したがって $\frac{a _{n} - 1}{a _{n} + 1/2} = (\frac{2}{5})^{n}$ である。 $q = (\frac{2}{5})^{n}$ とおくと， $a_{n} - 1 = q (a_{n} + \frac{1}{2})$ である。これを $a_{n}$ について解くと $a_{n} (1 - q) = 1 + \frac{q}{2}$ である。 $0 < q < 1$ なので割ることができ， $a_{n} = \frac{1 + \frac{1}{2} ( \frac{2}{5} ) ^{n}}{1 - ( \frac{2}{5} ) ^{n}}$ である。

東北大学 2008年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2008年度
後期・理系数学後期第4問