問題
とを実数とし，曲線と平面上の4点，，，を頂点とする平行四辺形を考える．直線は曲線の接線であり，その接点は線分上にあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) をで表せ．また，の値の範囲を求めよ．
(2) 曲線の上側と平行四辺形の内部の共通部分の面積をとおく．が(1)で求めた範囲を動くとき，の最大値を求めよ．
出典：東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
接点の 座標を と置くと，接線 は なので ， が決まる。曲線は と書け，平行四辺形内で曲線の上側に残る縦の長さは である。 で積分区間を共通部分として表し，最大値は で得る。
解答
(1)
直線 は である。曲線 とこの直線の接点の 座標を とする。
曲線の傾きは であるから，接点での傾きが2である条件は であり， である。また接点は 上にあるので である。 を代入して を得る。したがって である。
接点が線分 上にある条件は である。 より である。
(2)
とおくと，曲線は である。また平行四辺形 は で表される。
曲線の上側かつ平行四辺形の内部にある部分の縦の長さは である。ただしこれは の範囲でだけ正であり，さらに でなければならない。よって である。 のときは であり，これは について増加する。 のときは であり，これは について減少する。したがって最大は のときであり， である。