東北大学 2008年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$n$ は自然数とする．平面上の曲線 $C : y = x^{2} - n$ と $x$ 軸が囲む領域内にあり， $x$ 座標と $y$ 座標の値が共に整数であるような点の総数を $a_{n}$ とおく．ただし，曲線 $C$ 上の点および $x$ 軸上の点も含むとする． $n^{\frac{1}{2}}$ を超えない最大の整数を $m_{n}$ とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1) $a_{n}$ を $n$ と $m_{n}$ で表せ．

(2) $n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{\frac{3}{2}}}$ を求めよ．

出典：東北大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

領域内の整数点を $x$ 座標ごとに数える。 $x^{2} ≦ n$ を満たす整数 $x$ は $- m_{n}$ から $m_{n}$ までで，その各 $x$ に対して整数 $y$ は $x^{2} - n ≦ y ≦ 0$ の範囲にある。和を取って $a_{n}$ を表し，極限では $m_{n} ≦ n < m_{n} + 1$ から $m_{n} / n \to 1$ を使って各因子を評価する。

解答

(1)

曲線 $C : y = x^{2} - n$ と $x$ 軸で囲まれる領域は $x^{2} - n ≦ y ≦ 0$ で表される。整数点が存在するには，まず $x^{2} ≦ n$ でなければならない。 $m_{n}$ は $n$ を超えない最大の整数であるから，整数 $x$ の範囲は $- m_{n} ≦ x ≦ m_{n}$ である。このような $x$ を1つ固定すると，整数 $y$ は $x^{2} - n ≦ y ≦ 0$ を満たす。下端と上端を含むので，その個数は $0 - (x^{2} - n) + 1 = n - x^{2} + 1$ である。

したがって $a_{n} = \sum_{x = - m_{n}}^{m_{n}} (n - x^{2} + 1)$ である。これを整理すると $a_{n} = (2 m_{n} + 1) (n + 1) - \sum_{x = - m_{n}}^{m_{n}} x^{2}$ であり，

x = - m_{n} \sum m_{n} x^{2} = 2 j = 1 \sum m_{n} j^{2} = 2 \cdot \frac{m _{n} ( m _{n} + 1 ) ( 2 m _{n} + 1 )}{6} = \frac{m _{n} ( m _{n} + 1 ) ( 2 m _{n} + 1 )}{3}

だから $a_{n} = (2 m_{n} + 1) (n + 1) - \frac{m _{n} ( m _{n} + 1 ) ( 2 m _{n} + 1 )}{3}$ である。

(2)

$m_{n} ≦ n < m_{n} + 1$ より $1 - \frac{1}{n} < \frac{m _{n}}{n} ≦ 1$ である。したがって $\frac{m _{n}}{n} \to 1$ である。

(1)の式を $n^{3/2}$ で割ると

\frac{a _{n}}{n ^{3/2}} = \frac{( 2 m _{n} + 1 ) ( n + 1 )}{n ^{3/2}} - \frac{m _{n} ( m _{n} + 1 ) ( 2 m _{n} + 1 )}{3 n ^{3/2}}

である。第1項は $\frac{2 m _{n} + 1}{n} (1 + \frac{1}{n}) \to 2$ である。第2項は

\frac{1}{3} \cdot \frac{m _{n}}{n} \cdot \frac{m _{n} + 1}{n} \cdot \frac{2 m _{n} + 1}{n} \to \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = \frac{2}{3}

である。

よって $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{n ^{3/2}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ である。

東北大学 2008年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2008年度
後期・理系数学後期第5問