問題
は，をみたすとし，ベクトルとの内積をとおく．辺の中点を，の二等分線と辺の交点を，頂点から直線に垂線をおろし，交点をとする．，とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1) ベクトル，，を，，で表せ．
(2) 辺上に点が，，，，の順に並ぶようなの範囲を求めよ．ただし，これら5点はどの2点も一致しないものとする．
出典：東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
辺 上の点を から へ向かうパラメータ で表し， と置く。，， に対応する をそれぞれ求めれば，(2)の順序条件は単に という不等式になる。 は垂足なので， を内積で表して を求める。
解答
(1)
とする。
まず は の中点であるから である。
次に は の二等分線と の交点である。角の二等分線の性質より である。したがって は を に内分する点なので である。
最後に を求める。 は 上にあるから
とおける。 は から へ下ろした垂線の足なので である。ここで
であるから であり， である。よって となり である。したがって
すなわち
である。
(2)
三角形がつぶれないためには，， より である。この範囲では である。 上のパラメータ で見ると， に対応する値は順に である。したがって，この順に並び，どの2点も一致しない条件は である。
分母は正なので，左の不等式から すなわち であり， を得る。右の不等式から であり， を得る。
もともとの三角形の条件 と合わせると，求める範囲は である。