東北大学 2008年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(1) $x ≧ 0$ のとき $lo g_{e} (1 + x) ≦ x$ を示せ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(2) $lo g_{10} 2401 - lo g_{10} 2400 < \frac{1}{2400}$ を示せ．

(3) $lo g_{10} 7$ の値を，小数第4位を切り捨て小数第3位まで求めよ．ただし， $lo g_{10} 2 = 0.3010$ ， $lo g_{10} 3 = 0.4771$ として解答せよ．

出典：東北大学 2008年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は $x - lo g_{e} (1 + x)$ の増減で示す。(2)は対数の差を $lo g_{10} (2401/2400)$ にまとめ，底を $e$ に変えて(1)を使う。(3)では $2401 = 7^{4}$ ， $2400 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 1 0^{2}$ から $4 lo g_{10} 7$ を狭い範囲にはさみ，小数第4位を切り捨てても第3位が変わらないことを確認する。

解答

(1)

$g (x) = x - lo g_{e} (1 + x)$ とおく。 $x ≧ 0$ では $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} ≧ 0$ である。また $g (0) = 0 - lo g_{e} 1 = 0$ である。したがって $x ≧ 0$ で $g (x) ≧ 0$ となり， $lo g_{e} (1 + x) ≦ x$ が示された。

(2)

$lo g_{10} 2401 - lo g_{10} 2400 = lo g_{10} (1 + \frac{1}{2400})$ である。底を $e$ に変えると

lo g_{10} (1 + \frac{1}{2400}) = \frac{lo g _{e} ( 1 + 1/2400 )}{lo g _{e} 10}

である。

(1)より $lo g_{e} (1 + \frac{1}{2400}) ≦ \frac{1}{2400}$ である。また $e < 10$ なので $lo g_{e} 10 > 1$ である。したがって $lo g_{10} 2401 - lo g_{10} 2400 < \frac{1}{2400}$ である。

(3)

$2401 = 7^{4}$ であり，また $2400 = 24 \cdot 100 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 1 0^{2}$ である。したがって $lo g_{10} 2400 = 3 lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 + 2$ であり，条件より $lo g_{10} 2400 = 3 \cdot 0.3010 + 0.4771 + 2 = 3.3801$ である。

(2)より $lo g_{10} 2400 < lo g_{10} 2401 < lo g_{10} 2400 + \frac{1}{2400}$ だから $3.3801 < 4 lo g_{10} 7 < 3.3801 + \frac{1}{2400}$ である。 $1/2400 = 0.000416 \dots$ なので，4で割ると $0.845025 < lo g_{10} 7 < 0.845129 \dots$ となる。この範囲の数はすべて小数第3位までが $0.845$ である。よって，小数第4位を切り捨て小数第3位まで求めると $lo g_{10} 7 = 0.845$ である。

東北大学 2008年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2008年度
後期・理系数学後期第3問