東北大学 2007年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 上に点 $P_{k} (k = 1, 2, \dots, n)$ を $∠ P_{k} O A = \frac{k}{n} π$ を満たすようにとる．ただし， $O = (0, 0)$ ， $A = (2, 0)$ とする．このとき，

n \to \infty lim \frac{1}{n} (\frac{1}{O P _{1} ^{2}} + \frac{1}{O P _{2} ^{2}} + \dots + \frac{1}{O P _{n} ^{2}})

を求めよ．

出典：東北大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

偏角 $θ$ の楕円上の点を $P = (r cos θ, r sin θ)$ と置く。楕円の式に代入すれば $1/ r^{2} = cos^{2} θ /4 + sin^{2} θ /9$ が得られる。問題の和は $θ_{k} = k π / n$ におけるこの関数の平均であり， $n \to \infty$ で区間 $[0, π]$ の平均値，すなわち $(1/ π) \int_{0}^{π}$ を計算すればよい。 $sin^{2}$ と $cos^{2}$ の平均はいずれも 1/2 である。

解答

$θ = ∠ P O A$ とし，楕円上の点 P を $P = (r cos θ, r sin θ)$ と表す。このとき $r = O P$ である。楕円 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ に代入すると $\frac{r ^{2} c o s ^{2} θ}{4} + \frac{r ^{2} s i n ^{2} θ}{9} = 1$ である。したがって

\frac{1}{O P ^{2}} = \frac{1}{r ^{2}} = \frac{cos ^{2} θ}{4} + \frac{sin ^{2} θ}{9}

である。

ここで $P_{k}$ は $θ_{k} = \frac{k π}{n} (k = 1, 2, \dots, n)$ に対応する。よって求める極限は

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n (\frac{cos ^{2} ( k π / n )}{4} + \frac{sin ^{2} ( k π / n )}{9})

である。これは区間 $[0, π]$ 上の平均値に等しく

\frac{1}{π} \int_{0}^{π} (\frac{cos ^{2} θ}{4} + \frac{sin ^{2} θ}{9}) d θ

となる。

また

\int_{0}^{π} sin^{2} θ d θ = \int_{0}^{π} cos^{2} θ d θ = \frac{π}{2}

である。したがって極限は

\frac{1}{π} (\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2} + \frac{1}{9} \cdot \frac{π}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{9}) = \frac{13}{72}

である。

東北大学 2007年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

東北大学 2007年度
後期・理系数学後期第6問