東北大学 2007年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

あるグループの各人が独立に一問のクイズに答え，グループの人数の半数以上が正解すればグループは合格とする．ただし，一人一人の正解する確率は $p$ $(0 ≦ p ≦ 1)$ とする．グループの人数が $2 n$ であるときグループが合格する確率を $a_{n} (p)$ とする．

(1) 2以上の自然数 $n$ に対して， $a_{n} (p)$ は文字 $p$ についての多項式として $p^{n}$ で割り切れ， $a_{n} (p) - a_{n - 1} (p)$ は文字 $p$ についての多項式として $(1 - p)^{n}$ で割り切れることを示せ．

(2) $a_{3} (p) ≧ a_{2} (p)$ となる $p$ の範囲を求めよ．

出典：東北大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

$a_{n} (p)$ は 2n 人中 n 人以上が正解する二項分布の和として書く。 $p^{n}$ で割り切れることは各項の p の指数が n 以上であることから従う。 $a_{n} - a_{n - 1}$ については，不合格確率 $q_{n} = 1 - a_{n}$ を導入し， $q_{n}$ と $q_{n - 1}$ の各項がもつ (1-p) の因数を比較する。(2)は $a_{2}$ ， $a_{3}$ を具体的に展開して差を因数分解し， $0 ≦ p ≦ 1$ で符号を読む。

解答

(1)

2n 人中 n 人以上が正解すれば合格であるから $a_{n} (p) = \sum_{k = n}^{2 n}_{2 n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{2 n - k}$ である。この和の各項は $p^{n}$ を因数にもつので， $a_{n} (p)$ は $p^{n}$ で割り切れる。

次に，不合格となる確率を $q_{n} (p) = 1 - a_{n} (p)$ とおく。すると $q_{n} (p) = \sum_{k = 0}^{n - 1}_{2 n} C_{k} p^{k} (1 - p)^{2 n - k}$ である。この和では $2 n - k ≧ n + 1$ なので，各項は $(1 - p)^{n + 1}$ を因数にもつ。特に $q_{n} (p)$ は $(1 - p)^{n}$ で割り切れる。

同様に $q_{n - 1} (p) = \sum_{k = 0}^{n - 2}_{2 n - 2} C_{k} p^{k} (1 - p)^{2 n - 2 - k}$ であり，ここでは $2 n - 2 - k ≧ n$ なので， $q_{n - 1} (p)$ は $(1 - p)^{n}$ で割り切れる。したがって $a_{n} (p) - a_{n - 1} (p) = q_{n - 1} (p) - q_{n} (p)$ も $(1 - p)^{n}$ で割り切れる。

(2)

まず

a_{2} (p) =_{4} C_{2} p^{2} (1 - p)^{2} +_{4} C_{3} p^{3} (1 - p) + p^{4} = p^{2} (3 p^{2} - 8 p + 6)

である。また

a_{3} (p) =_{6} C_{3} p^{3} (1 - p)^{3} +_{6} C_{4} p^{4} (1 - p)^{2} +_{6} C_{5} p^{5} (1 - p) + p^{6} = p^{3} (- 10 p^{3} + 36 p^{2} - 45 p + 20)

である。よって

a_{3} (p) - a_{2} (p) = - 10 p^{6} + 36 p^{5} - 48 p^{4} + 28 p^{3} - 6 p^{2} = - 2 p^{2} (p - 1)^{3} (5 p - 3)

である。 $0 ≦ p ≦ 1$ では $p^{2} ≧ 0$ であり， $(p - 1)^{3} ≦ 0$ である。したがって $- 2 p^{2} (p - 1)^{3}$ は 0 以上で，差の符号は 5p-3 の符号で決まる。ただし $p = 0$ では差は 0 である。ゆえに $a_{3} (p) ≧ a_{2} (p)$ となる範囲は $p = 0, \frac{3}{5} ≦ p ≦ 1$ である。

東北大学 2007年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2007年度
後期・理系数学後期第3問