問題
，を，を満たす定数とする．このとき，平面において，直線と放物線は2点で交わることを示せ．
出典：東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
交点の x 座標は を満たす。2点で交わることは，この2次方程式の判別式が正であることと同値である。判別式の4分の1は であり，仮定 を代入して下から評価する。残った を，明らかに正の形に分解して で正であることを示す。
解答
直線 と放物線 の交点の x 座標は すなわち を満たす。この2次方程式が異なる2つの実数解をもてば，直線と放物線は2点で交わる。
判別式を D とすると である。仮定より だから である。
ここで である。 より であり，また は判別式が で，先頭係数が正なので常に正である。したがって である。よって となり，直線と放物線は異なる2点で交わる。