東北大学 2007年度
後期・理系数学 後期 第5問

解答

正の実数 x について考える。両辺の自然対数を取ると，不等式 $x^2>2^x$ は $2\log x>x\log 2$ と同値である。そこで $h(x)=2\log x-x\log 2$ とおく。

微分すると $h^{\prime }(x)=\frac{2}{x}-\log 2,h^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{x^2}<0$ である。また $h(2)=2\log 2-2\log 2=0,h(4)=2\log 4-4\log 2=0$ である。 $0<x<2$ では $2/x>1>\log 2$ なので $h^{\prime }(x)>0$ である。したがって h はこの範囲で増加し，$h(2)=0$ より $h(x)<0(0<x<2)$ である。 $2<x<4$ では，h は2つの零点 2,4 の間で正になる。実際，$h^{\prime \prime }(x)<0$ なのでグラフは上にふくらみ，2点 (2,0),(4,0) を結ぶ線分より上にある。よって $h(x)>0(2<x<4)$ である。 $4<x$ では $2/x<1/2<\log 2$ なので $h^{\prime }(x)<0$ である。したがって h はこの範囲で減少し，$h(4)=0$ より $h(x)<0(x>4)$ である。

以上より，求める範囲は $2<x<4$ である。

別解。$x=2^t$ とおくと，$x>0$ のもとで t は実数全体を動く。不等式は $2^{2t}>2^{2^t}$ すなわち $2t>2^t$ に同値である。関数 $2t-2^t$ は $t=1,2$ で0となり，その間で正，外側で負になる。したがって $1<t<2$，すなわち $2<x<4$ である。