東北大学 2007年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

図のような平行四辺形 $A B C D$ において $∠ A D B$ は直角とする． $D$ から線分 $A C$ に下ろした垂線と $A C$ との交点を $E$ とする． $A D = a$ ， $A B = b$ とおき， $∣ a ∣ = 1$ ， $∣ b ∣ = 13$ とする．

(1) 内積 $a \cdot b$ を求めよ．

(2) $D E$ を $a$ と $b$ で表せ．

(3) 内積 $D E \cdot D B$ と $∠ E D B$ を求めよ．

出典：東北大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)(2)は，A を始点にした位置ベクトルで処理する。直角条件から $a \cdot b = 1$ を得て，E は AC 上の射影点として $A E = s (a + b)$ と置く。(3)では， $D E = (- 7 a + b) /8$ と $D B = b - a$ を使って内積を直接計算し，さらにそれぞれの長さを出して余弦から角を求める。

解答

(1)

A を始点に取ると

A D = a, A B = b

である。したがって

D A = - a, D B = b - a

である。 $∠ A D B = 9 0^{\circ}$ より $(- a) \cdot (b - a) = 0$ であるから $a \cdot b = ∣ a ∣^{2} = 1$ である。

(2)

平行四辺形より $A C = a + b$ である。E は AC 上にあるので $A E = s (a + b)$ とおく。DE⊥ AC だから

{s (a + b) - a} \cdot (a + b) = 0

である。

(1)より

∣ a + b ∣^{2} = 1 + 2 \cdot 1 + 13 = 16, a \cdot (a + b) = 2

である。したがって $16 s - 2 = 0$ より $s = \frac{1}{8}$ である。よって

D E = \frac{1}{8} (a + b) - a = \frac{- 7 a + b}{8}

である。

(3)

$D B = b - a$ であるから

D E \cdot D B = \frac{- 7 a + b}{8} \cdot (b - a) = \frac{- 7 ( a \cdot b ) + 7∣ a ∣ ^{2} + ∣ b ∣ ^{2} - a \cdot b}{8} = \frac{- 7 + 7 + 13 - 1}{8} = \frac{3}{2}

である。

また

∣ D E ∣^{2} = \frac{49∣ a ∣ ^{2} - 14 a \cdot b + ∣ b ∣ ^{2}}{64} = \frac{49 - 14 + 13}{64} = \frac{3}{4}

なので $∣ D E ∣ = \frac{3}{2}$ である。さらに

∣ D B ∣^{2} = ∣ b - a ∣^{2} = 13 + 1 - 2 = 12

より $∣ D B ∣ = 23$ である。したがって

cos ∠ E D B = \frac{D E \cdot D B}{∣ D E ∣ ∣ D B ∣} = \frac{3/2}{( 3 /2 ) ( 2 3 )} = \frac{1}{2}

であり， $∠ E D B = 6 0^{\circ}$ である。

東北大学 2007年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2007年度
後期・理系数学後期第2問