東北大学 2007年度
後期・理系数学 後期 第1問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 三角関数、方程式・不等式
- 解法
- 置換、不等式評価、場合分け
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
0≦x<2πの範囲で次の方程式の解を求めよ．
(1) sin3x+cos3x=1
(2) sin3x+cos3x+sinx=2
出典：東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
u=sinx+cosx と置くと，sin3x+cos3x は u(3−u2)/2 と表せる。方程式 (1) は (u−1)2(u+2)=0 に帰着し，u の値域から u=1 だけを採用する。u=1 では 2sinxcosx=u2−1=0 も使って x を決める。(2)は，三乗和が常に 1 以下で，さらに sinx≦1 であることから，和が2になるには両方の等号条件が必要であると考える。
解答
(1)
u=sinx+cosx とおく。このとき sinxcosx=2u2−1 であり，
sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(1−sinxcosx)=u(1−2u2−1)=2u(3−u2)
である。
したがって sin3x+cos3x=1 は 2u(3−u2)=1 すなわち u3−3u+2=0 である。因数分解して (u−1)2(u+2)=0 となる。ここで −2≦u≦2 だから u=−2 は不適で，u=1 である。 u=1 のとき 2sinxcosx=u2−1=0 である。したがって sinx=0 または cosx=0 で，さらに sinx+cosx=1 を満たすものを 0≦x<2π で選ぶと x=0,2π である。
(2)
(1)の途中計算から 1−(sin3x+cos3x)=2(u−1)2(u+2)≧0 である。よって sin3x+cos3x≦1 である。また常に sinx≦1 である。したがって和が2になるには，この2つの不等式でともに等号が成り立つ必要がある。 sinx=1 となるのは x=2π であり，このとき cosx=0 なので三乗和も 1 になる。したがって求める解は x=2π である。
