東北大学 2005年度
後期・理系数学 後期 第6問

解答

$\sin ms=\sin mt,\cos ms=\cos mt$ が成り立つ。正弦と余弦がともに等しい2つの角は、$2\pi$ の整数倍だけ異なる。したがって、ある整数 $k$ が存在して $ms-mt=2k\pi$ である。すなわち $m(s-t)=2k\pi$ である。

同様に $\sin ns=\sin nt,\cos ns=\cos nt$ から、ある整数 $l$ が存在して $n(s-t)=2l\pi$ である。

上の2式から $s-t=\frac{2k\pi }{m}=\frac{2l\pi }{n}$ である。よって $kn=lm$ である。ここで $m$ と $n$ は互いに素であるから、$m$ は $k$ を割り切り、$n$ は $l$ を割り切る。したがって、ある整数 $q$ を用いて $k=mq,l=nq$ と書ける。

これを $m(s-t)=2k\pi$ に代入すると $m(s-t)=2mq\pi$ である。$m$ は自然数なので $m\ne 0$ であり、両辺を $m$ で割って $s-t=2q\pi$ を得る。

ところが仮定より $|s-t|<2\pi$ である。$s-t$ が $2\pi$ の整数倍で、かつ絶対値が $2\pi$ より小さいためには $q=0$ でなければならない。したがって $s-t=0$ であり、$\boxed{s=t}$ である。