東北大学 2005年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$n$ を2以上の整数とする．中の見えない袋に $2 n$ 個の玉が入っていて，そのうち3個が赤で残りが白とする． $A$ 君と $B$ 君が交互に1個ずつ玉を取り出して，先に赤の玉を取り出した方が勝ちとする．取り出した玉は袋には戻さないとする． $A$ 君が先に取り始めるとき， $B$ 君が勝つ確率を求めよ．

出典：東北大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

赤玉が現れる3つの位置だけに注目する。全体では $1, 2, \dots, 2 n$ から赤玉の位置を3つ選ぶ $_{2 n} C_{3}$ 通りが等確率である。 $B$ 君が勝つのは最初の赤玉が偶数番目、つまり $2 r$ 番目にあるときであり、その後ろから残り2個の赤玉の位置を選ぶ。和 $\sum_{s = 0}^{n - 1}_{2 s} C_{2}$ を整理して確率にする。

解答

赤玉が出る3つの位置を、取り出し順 $1, 2, \dots, 2 n$ の中から選ぶと考える。赤玉の位置の選び方は $_{2 n} C_{3}$ 通りであり、すべて同様に確からしい。 $A$ 君は奇数番目、 $B$ 君は偶数番目に玉を取り出す。したがって $B$ 君が勝つのは、最初に現れる赤玉の位置が偶数番目のときである。

最初の赤玉が $2 r$ 番目にあるとする。このとき、残り2個の赤玉は $2 r + 1, 2 r + 2, \dots, 2 n$ の中から選ばれるので、その選び方は $_{2 n - 2 r} C_{2}$ 通りである。よって有利な場合の数は $\sum_{r = 1}^{n}_{2 n - 2 r} C_{2}$ である。ここで $s = n - r$ とおくと

r = 1 \sum n_{2 n - 2 r} C_{2} = s = 0 \sum n - 1_{2 s} C_{2}

である。さらに $_{2 s} C_{2} = \frac{2 s ( 2 s - 1 )}{2} = s (2 s - 1)$ だから

s = 0 \sum n - 1_{2 s} C_{2} = s = 0 \sum n - 1 (2 s^{2} - s) = 2 \cdot \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} - \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6}

である。

全体の場合の数は $_{2 n} C_{3} = \frac{2 n ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 2 )}{6}$ である。したがって求める確率は

\frac{\frac{n ( n - 1 ) ( 4 n - 5 )}{6}}{\frac{2 n ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 2 )}{6}} = \frac{4 n - 5}{4 ( 2 n - 1 )}

である。よって $\frac{4 n - 5}{4 ( 2 n - 1 )}$ である。

東北大学 2005年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 2005年度
後期・理系数学後期第3問