問題
曲線上の定点から，曲線上の点までの距離をとする．
(1) のとき，が最小値をとると値を求めよ．
(2) とし，(1)で求めたについて点をとおく．曲線，，軸，および線分で囲まれた図形の面積を求めよ．
出典：東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
距離はそのままではなく2乗 を最小化する。 を因数分解すると が現れ、 では2次式部分が常に非負なので、最小点は と分かる。(2)では により 、 となる。囲まれた図形は、 では 、 では線分 と の差を積分する。
解答
(1)
点 と との距離の2乗を とおく。距離 を最小にする は、 を最小にする と同じである。
微分すると
である。
ここで のとき、2次式 の判別式は である。係数 は正なので がすべての実数 で成り立つ。したがって の符号は の符号で決まり、 は で最小値をとる。
よって である。このとき なので、 との差は である。したがって である。ゆえに である。
(2)
のとき であり、(1)より だから である。線分 の傾きは なので、その方程式は である。
求める図形は、 では上側が 、下側が である。また では、上側が線分 、下側が である。したがって面積 は
である。
第1項は
である。第2項は
である。よって である。したがって である。