東北大学 2005年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を $0 < b < a$ を満たす実数として，楕円 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ を考える．

(1) $0 < t ≦ \frac{π}{2}$ とする．座標が $(a cos t, b sin t)$ の $C$ 上の点を $P (t)$ とおく． $P (t)$ における $C$ の法線 $l$ の方程式と， $l$ と $x$ 軸の交点 $Q (t)$ の座標を求めよ．

(2) $x y z$ 空間内の立体 $V$ で底面が平面 $z = 0$ において

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} ≦ 1, 0 ≦ x, 0 ≦ y

で与えられ， $z$ 軸の正の方向への高さが線分 $P (t) Q (t)$ 上の各点で $t$ となるものを考える．ただし点 $(a, 0)$ と点 $(\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a}, 0)$ を結ぶ線分上の点での高さは0とする． $V$ の平面 $z = s$ による断面積を求めよ．

(3) $V$ の体積を求めよ．

出典：東北大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)は楕円の接線の傾きを微分で求め、その垂直方向として法線を出す。 $x$ 軸との交点 $Q (t)$ は $y = 0$ を代入して求める。(2)では、底面の各点を線分 $Q (t) P (t)$ 上の点として $0 ≦ λ ≦ 1$ で表す。 $t$ を少し変えた方向と $λ$ を少し変えた方向が作る小さな平行四辺形の面積を計算し、 $t ≧ s$ の範囲で積分すると平面 $z = s$ の断面積が得られる。(3)は断面積を $s = 0$ から $π /2$ まで積分する。

解答

(1)

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ を微分すると $\frac{2 x}{a ^{2}} + \frac{2 y}{b ^{2}} \frac{d y}{d x} = 0$ である。したがって $\frac{d y}{d x} = - \frac{b ^{2} x}{a ^{2} y}$ である。点 $P (t) = (a cos t, b sin t)$ における接線の傾きは $- \frac{b ^{2} a c o s t}{a ^{2} b s i n t} = - \frac{b c o s t}{a s i n t}$ である。よって法線の傾きは $\frac{a s i n t}{b c o s t}$ である。

したがって法線 $l$ の方程式は $y - b sin t = \frac{a sin t}{b cos t} (x - a cos t)$ である。

次に $l$ と $x$ 軸の交点を求める。 $y = 0$ を代入すると $- b sin t = \frac{a s i n t}{b c o s t} (x - a cos t)$ である。 $0 < t ≦ π /2$ で、 $t = π /2$ の場合も極限として同じ式になる。 $0 < t < π /2$ で整理すると $x - a cos t = - \frac{b ^{2}}{a} cos t$ なので $x = (a - \frac{b ^{2}}{a}) cos t = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a} cos t$ である。よって $Q (t) = (\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a} cos t, 0)$ である。

(2)

線分 $Q (t) P (t)$ 上の点を $X (t, λ) = Q (t) + λ (P (t) - Q (t)) (0 ≦ λ ≦ 1)$ と表す。すると $P (t) - Q (t) = (\frac{b ^{2}}{a} cos t, b sin t)$ であるから、

X (t, λ) = (\frac{a ^{2} - b ^{2} + λ b ^{2}}{a} cos t, λb sin t)

である。 $t$ を $d t$ だけ、 $λ$ を $d λ$ だけ変化させると、底面上に小さな平行四辺形ができる。その2辺の方向ベクトルは $(- \frac{a ^{2} - b ^{2} + λ b ^{2}}{a} sin t, λb cos t) d t$ と $(\frac{b ^{2}}{a} cos t, b sin t) d λ$ である。したがってその面積は $\frac{b}{a} {(a^{2} - b^{2}) sin^{2} t + b^{2} λ} d t d λ$ である。

高さが $t$ である点の集まりは線分 $Q (t) P (t)$ である。よって平面 $z = s$ による断面は、高さが $s$ 以上の底面部分、すなわち $s ≦ t ≦ \frac{π}{2}, 0 ≦ λ ≦ 1$ に対応する。したがって断面積 $A (s)$ は

A (s) = \int_{s}^{π /2} \int_{0}^{1} \frac{b}{a} {(a^{2} - b^{2}) sin^{2} t + b^{2} λ} d λ d t

である。

まず $λ$ で積分すると

A (s) = \frac{b}{a} \int_{s}^{π /2} {(a^{2} - b^{2}) sin^{2} t + \frac{b ^{2}}{2}} d t

である。ここで

\int_{s}^{π /2} sin^{2} t d t = \frac{1}{2} (\frac{π}{2} - s) + \frac{1}{4} sin 2 s

であるから、

A (s) = \frac{b}{a} [(a^{2} - b^{2}) {\frac{1}{2} (\frac{π}{2} - s) + \frac{1}{4} sin 2 s} + \frac{b ^{2}}{2} (\frac{π}{2} - s)] = \frac{b}{2 a} {a^{2} (\frac{π}{2} - s) + \frac{a ^{2} - b ^{2}}{2} sin 2 s}

である。したがって

A (s) = \frac{b}{2 a} {a^{2} (\frac{π}{2} - s) + \frac{a ^{2} - b ^{2}}{2} sin 2 s}

である。

(3)

体積は断面積を高さ方向に積分して $\int_{0}^{π /2} A (s) d s$ である。したがって

V = \int_{0}^{π /2} \frac{b}{2 a} {a^{2} (\frac{π}{2} - s) + \frac{a ^{2} - b ^{2}}{2} sin 2 s} d s = \frac{b}{2 a} {a^{2} \cdot \frac{π ^{2}}{8} + \frac{a ^{2} - b ^{2}}{2} \cdot 1}

である。よって $V = \frac{ab π ^{2}}{16} + \frac{b ( a ^{2} - b ^{2} )}{4 a}$ である。

東北大学 2005年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2005年度
後期・理系数学後期第4問