東北大学 2005年度
後期・理系数学 後期 第2問

解答

$p=u+vi$ とおく。4つの解に $p$ と $\overline{p}$ が含まれ、しかも異なる複素数解であるから $v\ne 0$ である。また $p+2\overline{p}=(u+vi)+2(u-vi)=3u-vi$ であり、$2p+\overline{p}=2(u+vi)+(u-vi)=3u+vi$ である。したがって4つの解は $u+vi,u-vi,3u+vi,3u-vi$ である。

よって方程式の左辺は $\{x^2-2ux+u^2+v^2\}\{x^2-6ux+9u^2+v^2\}$ に等しい。これを展開して係数を比較する。$x^3$ の係数から $a=-8u$ である。$a>0$ なので $u<0$ である。

次に $x^2$ の係数から $22u^2+2v^2=2b+7$ すなわち $11u^2+v^2=b+\frac{7}{2}$ を得る。また $x$ の係数から $-24u^3-8u{v}^2=2ab$ であり、$a=-8u$ を代入すると $-24u^3-8u{v}^2=-16ub$ である。$u\ne 0$ なので $-8u$ で割って $3u^2+v^2=2b$ を得る。

ここで $U=u^2$ とおく。上の2式から $b=\frac{7}{2}-8U$ であり、さらに $v^2=2b-3U=7-19U$ である。

最後に定数項を比較する。定数項は $(u^2+v^2)(9u^2+v^2)=9u^4+10u^2{v}^2+v^4$ であり、もとの方程式の定数項は $5b^2$ である。したがって $9U^2+10U(7-19U)+(7-19U{)}^2=5{\left(\frac{7}{2}-8U\right)}^2$ である。整理すると $(4U-1)(20U-7)=0$ となる。よって $U=\frac{1}{4}\text{または}U=\frac{7}{20}$ である。 $U=1/4$ のとき、$u<0$ より $u=-1/2$ であり、$a=-8u=4$ である。また $b=\frac{7}{2}-8\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$ である。 $U=7/20$ のとき、$u<0$ より $u=-\sqrt{\frac{7}{20}}=-\frac{\sqrt{35}}{10}$ である。したがって $a=-8u=\frac{4\sqrt{35}}{5}$ であり、$b=\frac{7}{2}-8\cdot \frac{7}{20}=\frac{7}{10}$ である。

どちらの場合も $b>0$ であり、さらに $v^2=7-19U$ はそれぞれ $9/4$、$7/20$ で正である。よって $v\ne 0$ であり、4つの解は相異なる。したがって求める値は

である。