東北大学 2005年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を次で定める．

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = 1 a_{n + 1} = \frac{3 n - 1}{3 n + 5} a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

このとき，一般項 $a_{n}$ と級数の和 $S = n = 1 \sum \infty a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

漸化式を順に掛けると、分子分母がずれて消える形になる。一般項は $a_{n} = 10/ {(3 n - 1) (3 n + 2)}$ と予想でき、初項と漸化式で帰納的に確認する。級数は部分分数分解 $a_{n} = \frac{10}{3} (1/ (3 n - 1) - 1/ (3 n + 2))$ により隣り合う項が消えるので、部分和を取ってから極限を計算する。

解答

漸化式は $a_{n + 1} = \frac{3 n - 1}{3 n + 5} a_{n}$ である。初めの数項を見ると $a_{1} = 1, a_{2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ であり、分母が3ずつずれていく形になっている。一般項として $a_{n} = \frac{10}{( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )}$ を示す。

まず $n = 1$ では $\frac{10}{( 3 \cdot 1 - 1 ) ( 3 \cdot 1 + 2 )} = \frac{10}{2 \cdot 5} = 1$ であり、 $a_{1} = 1$ と一致する。次に $a_{n} = \frac{10}{( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )}$ と仮定すると、漸化式より

a_{n + 1} = \frac{3 n - 1}{3 n + 5} \cdot \frac{10}{( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )} = \frac{10}{( 3 n + 2 ) ( 3 n + 5 )}

である。これは $\frac{10}{( 3 ( n + 1 ) - 1 ) ( 3 ( n + 1 ) + 2 )}$ に等しい。したがって数学的帰納法により $a_{n} = \frac{10}{( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )}$ である。

次に級数の和を求める。部分分数分解すると

\frac{10}{( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )} = \frac{10}{3} (\frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n + 2})

である。したがって第 $N$ 部分和は

n = 1 \sum N a_{n} = \frac{10}{3} n = 1 \sum N (\frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n + 2}) = \frac{10}{3} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3 N + 2})

である。 $N \to \infty$ とすると $S = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{3}$ である。よって $S = \frac{5}{3}$ である。

東北大学 2005年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

東北大学 2005年度
後期・理系数学後期第5問