東北大学 2004年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1)

$|z|=1$ だから $z=\cos \theta +i\sin \theta$ とおくことができる。このとき $z^3-z$ の実部は $\cos 3\theta -\cos heta$ である。和積公式より

である。したがって実部が $0$ となるのは $\sin \theta =0\text{または}\cos \theta =0$ のときである。よって $z=1,-1,i,-i$ である。

(2)

$|z^5+z|=|z||z^4+1|=|z^4+1|$ である。$z=e^{i\theta }$ とすると $z^4+1=e^{4i\theta }+1=2e^{2i\theta }\cos 2\theta$ なので $|z^5+z|=2|\cos 2\theta |$ である。これが $1$ となる条件は $|\cos 2\theta |=\frac{1}{2}$ である。したがって $2\theta \equiv \pm \frac{\pi }{3},\pm \frac{2\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$ であり、求める $z$ は $z=\cos \frac{k\pi }{6}+i\sin \frac{k\pi }{6}(k=1,2,4,5,7,8,10,11)$ である。

(3)

$\zeta =z^n$ とおくと、$|\zeta |=1$ である。条件は $|\zeta +1|=1$ である。単位円上の点 $\zeta$ で、点 $-1$ からの距離が $1$ であるものを考えると、$\zeta =\cos \frac{2\pi }{3}\pm i\sin \frac{2\pi }{3}$ である。すなわち ${\zeta }^2+\zeta +1=0$ である。したがって求める $z$ は $z^{2n}+z^n+1=0$ を満たす全ての複素数である。

この多項式は次数 $2n$、最高次係数 $1$、定数項 $1$ である。よって根をすべて掛け合わせた値は $(-1{)}^{2n}\cdot 1=1$ である。したがって求める複素数は $1$ である。

別解。(3) は $z^{3n}=1$ かつ $z^n\ne 1$ と見てもよい。つまり、3$n$ 乗根のうち $n$ 乗して1になるものを除いた $2n$ 個をすべて掛けることになる。この集合は上の多項式 $z^{2n}+z^n+1$ の根の集合と同じなので、積はやはり $1$ である。