東北大学 2004年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする． $n + 1$ 項の等差数列 $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ と等比数列 $y_{0}, y_{1}, \dots, y_{n}$ が

1 = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} = 21 = y_{0} < y_{1} < y_{2} < \dots < y_{n} = 2

を満たすとし， $P (n)$ ， $Q (n)$ ， $R (n)$ ， $S (n)$ を次で定める．

P (n) = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}, Q (n) = n x_{1} x_{2} \dots x_{n}

R (n) = \frac{y _{1} + y _{2} + \dots + y _{n}}{n}, S (n) = n y_{1} y_{2} \dots y_{n}

このとき極限値 $n \to \infty lim P (n)$ ， $n \to \infty lim Q (n)$ ， $n \to \infty lim R (n)$ ， $n \to \infty lim S (n)$ をそれぞれ求めよ．

出典：東北大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

等差数列は $x_{i} = 1 + i / n$ 、等比数列は $y_{i} = 2^{i / n}$ と明示する。平均 $P (n), R (n)$ は区間 $[0, 1]$ の和を定積分へ、幾何平均 $Q (n), S (n)$ は対数を取ってから定積分または等差和へ直す。端点 $i = 0$ は積や和に入っていないが、極限ではリーマン和として同じ区間を与えることを確認する。

解答

等差数列 $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ は $x_{i} = 1 + \frac{i}{n} (i = 0, 1, \dots, n)$ である。したがって $P (n) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (1 + \frac{i}{n})$ である。これは $[0, 1]$ 上の関数 $1 + x$ のリーマン和なので、 $lim_{n \to \infty} P (n) = \int_{0}^{1} (1 + x) d x = \frac{3}{2}$ である。

次に $lo g Q (n) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} lo g (1 + \frac{i}{n})$ である。よって $lim_{n \to \infty} lo g Q (n) = \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x$ である。部分積分により

\int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x = [(1 + x) lo g (1 + x) - (1 + x)]_{0}^{1} = 2 lo g 2 - 1

である。したがって $lim_{n \to \infty} Q (n) = e^{2 l o g 2 - 1} = \frac{4}{e}$ である。

等比数列 $y_{0}, y_{1}, \dots, y_{n}$ は $y_{i} = 2^{i / n}$ である。したがって $R (n) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 2^{i / n}$ であり、これは $2^{x}$ のリーマン和である。よって

n \to \infty lim R (n) = \int_{0}^{1} 2^{x} d x = [\frac{2 ^{x}}{lo g 2}]_{0}^{1} = \frac{1}{lo g 2}

である。

最後に

lo g S (n) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n lo g (2^{i / n}) = \frac{lo g 2}{n} i = 1 \sum n \frac{i}{n}

である。したがって $lo g S (n) = \frac{l o g 2}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} \to \frac{l o g 2}{2}$ である。よって $lim_{n \to \infty} S (n) = 2$ である。

東北大学 2004年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 2004年度
理系数学前期第3問