問題
平面ベクトル，は，を満たすとする．
(1) ，を整数とする．が整数であるための必要十分条件はが偶数であることを示せ．
(2) となる整数の組をすべて求めよ．
(3) 整数の組を条件のもとで動かすとき，の最小値を与えるをすべて求めよ．
出典：東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
まず を展開して を求める。これにより は の2次式になる。整数条件は の小数部分だけで決まり、零条件と最小条件は平方完成 で処理する。最小値は に分けて調べる。
解答
まず条件 を展開する。 であり、 だから である。したがって である。
(1)
ここで は常に整数である。よって全体が整数であるための必要十分条件は である。これは が偶数であること、すなわち が偶数であることと同値である。したがって必要十分条件は である。
(2)
上の式を平方完成すると である。右辺は2つの平方の和であり、 になるには でなければならない。よって である。したがって だけである。
(3)
とする。 のときは なので、最小値は である。 のときは である。 なら のとき、 なら のとき、 となる。したがって値は である。 のときは なので、値は少なくとも である。したがって全体の最小値は であり、それを与える組は である。