東北大学 2004年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

平面上の3つの曲線 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ を次で定める．

C_{1} : ⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{15}{2} t^{4} y = - 3 t^{5} + 5 t^{3} (0 ≦ t ≦ \frac{5}{3})

C_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = \frac{125}{6} cos^{3} (2 π (- t + \frac{5}{3})) y = \frac{125}{6} sin^{3} (2 π (- t + \frac{5}{3})) (\frac{5}{3} ≦ t ≦ \frac{5}{3} + \frac{1}{4})

C_{3} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 0 y = \frac{125 ( t - 2 )}{6 ( \frac{7}{4} - \frac{5}{3} )} (\frac{5}{3} + \frac{1}{4} ≦ t ≦ 2)

(1) $C_{1}$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

(2) 原点 $O$ を出発し， $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ を順にたどって $O$ に戻る行程の道のりを求めよ．

出典：東北大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

(1) は媒介変数表示の面積公式 $\int y d x$ を使う。 $C_{1}$ は $0 ≦ t ≦ 5/3$ で $y ≧ 0$ なので、そのまま $y (t) x^{'} (t)$ を積分する。(2) は道のりを $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ に分ける。 $C_{1}$ は $x^{'} (t), y^{'} (t)$ から弧長を計算し、 $C_{2}$ はアステロイド $(A cos^{3} ϕ, A sin^{3} ϕ)$ の4分の1、 $C_{3}$ は鉛直線分の長さとして求める。

解答

(1)

$C_{1}$ では $x = \frac{15}{2} t^{4}, y = - 3 t^{5} + 5 t^{3}$ であり、 $\frac{d x}{d t} = 30 t^{3}$ である。 $0 ≦ t ≦ 5/3$ では $y = t^{3} (5 - 3 t^{2}) ≧ 0$ であるから、 $C_{1}$ と $x$ 軸で囲まれる面積は $\int y d x = \int_{0}^{5/3} (- 3 t^{5} + 5 t^{3}) 30 t^{3} d t$ である。よって

\int_{0}^{5/3} (- 90 t^{8} + 150 t^{6}) d t = [- 10 t^{9} + \frac{150}{7} t^{7}]_{0}^{5/3} = \frac{12500 15}{1701} .

したがって求める面積は $\frac{12500 15}{1701}$ である。

(2)

まず $C_{1}$ の道のりを求める。 $\frac{d x}{d t} = 30 t^{3}, \frac{d y}{d t} = - 15 t^{4} + 15 t^{2} = 15 t^{2} (1 - t^{2})$ である。したがって速さは

(30 t^{3})^{2} + (15 t^{2} (1 - t^{2}))^{2} = 15 t^{2} 4 t^{2} + (1 - t^{2})^{2} = 15 t^{2} (1 + t^{2})

である。よって $C_{1}$ の長さは

\int_{0}^{5/3} 15 t^{2} (1 + t^{2}) d t = [5 t^{3} + 3 t^{5}]_{0}^{5/3} = \frac{50 15}{9}

である。

次に $C_{2}$ は $x = A cos^{3} ϕ, y = A sin^{3} ϕ, A = \frac{125}{6}$ の形で、 $ϕ$ が $0$ から $- π /2$ まで動く4分の1のアステロイドである。この弧長は $\int_{0}^{π /2} 3 A sin ϕ cos ϕ d ϕ = \frac{3 A}{2} = \frac{125}{4}$ である。

最後に $C_{3}$ は $x = 0$ の鉛直線分で、 $y = - 125/6$ から $0$ まで戻るので長さは $\frac{125}{6}$ である。したがって全体の道のりは

\frac{50 15}{9} + \frac{125}{4} + \frac{125}{6} = \frac{50 15}{9} + \frac{625}{12}

である。

東北大学 2004年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2004年度
理系数学前期第2問