東北大学 2004年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

手作りのサイコロがあり，1から6のそれぞれの目の出る確率 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ， $p_{4}$ ， $p_{5}$ ， $p_{6}$ で表す．ここで

p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} + p_{5} + p_{6} = 1, p_{1} = p_{6}, p_{2} = p_{5}, p_{3} = p_{4}

がなりたつとする．このサイコロを3回振ったとき出た目の総和が $n$ である確率を $Q (n)$ で表す．

(1) $Q (5)$ を $p_{1}$ ， $p_{2}$ で表せ．

(2) $p_{3} = \frac{1}{6}$ で $p_{1}$ と $p_{2}$ は不明であるとする． $Q (7)$ が取り得る最大の値は何か．また，そのときの $p_{1}$ ， $p_{2}$ を求めよ．

出典：東北大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1) は和が5になる3個の目の型を列挙する。対称条件より $p_{3} = p_{4}$ 、 $p_{2} = p_{5}$ 、 $p_{1} = p_{6}$ を使う。(2) は $p_{3} = 1/6$ と確率の和から $p_{1} + p_{2} = 1/3$ を得て、 $Q (7)$ を $p_{1}$ の3次式にする。導関数の符号または平方完成により、区間 $0 ≦ p_{1} ≦ 1/3$ で最大を求める。

解答

(1)

3回の出目の和が $5$ になる型を考える。可能なのは $(1, 1, 3)$ 型と $(1, 2, 2)$ 型である。 $(1, 1, 3)$ 型は、 $3$ の位置が3通りあるので確率は $3 p_{1}^{2} p_{3}$ である。 $(1, 2, 2)$ 型も、 $1$ の位置が3通りあるので確率は $3 p_{1} p_{2}^{2}$ である。したがって $Q (5) = 3 p_{1}^{2} p_{3} + 3 p_{1} p_{2}^{2} = 3 p_{1} (p_{1} p_{3} + p_{2}^{2})$ である。

(2)

$p_{3} = 1/6$ であり、対称条件から $2 (p_{1} + p_{2} + p_{3}) = 1$ である。したがって $p_{1} + p_{2} = \frac{1}{3}$ である。

和が $7$ になる出方を列挙すると、 $(1, 1, 5)$ 、 $(1, 2, 4)$ 、 $(1, 3, 3)$ 、 $(2, 2, 3)$ 型である。よって $Q (7) = 3 p_{1}^{2} p_{2} + 6 p_{1} p_{2} p_{3} + 3 p_{1} p_{3}^{2} + 3 p_{2}^{2} p_{3}$ である。 $p_{3} = 1/6$ 、 $p_{2} = 1/3 - p_{1}$ を代入すると $Q (7) = - 3 p_{1}^{3} + \frac{1}{2} p_{1}^{2} + \frac{1}{12} p_{1} + \frac{1}{18}$ である。 $0 ≦ p_{1} ≦ 1/3$ で微分すると $Q^{'} (7) = - 9 p_{1}^{2} + p_{1} + \frac{1}{12} = - \frac{1}{12} (6 p_{1} - 1) (18 p_{1} + 1)$ である。区間内の臨界点は $p_{1} = \frac{1}{6}$ であり、ここで増加から減少に変わる。したがって最大は $p_{1} = 1/6$ のときである。このとき $p_{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ であり、 $Q (7) = \frac{5}{72}$ である。

東北大学 2004年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2004年度
理系数学前期第4問