東北大学 2001年度
理系数学 前期 第6問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 積分、論証・証明
- 解法
- 数学的帰納法、部分積分、極限計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
(1) nを正の整数とする．t≧0のとき，不等式et≧n!tnが成り立つことを数学的帰納法で示せ．
(2) 極限Im=t→∞lim∫0txme−xdx(m=0,1,2,⋯)を求めよ．
出典：東北大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
(1)は et=1+int0texdx を用い、帰納法の仮定を積分して次数を1つ上げる。(2)は I0 を直接求め、mgeqq1 では部分積分で Im=mIm−1 を導く。端の項 tme−tto0 は(1)の不等式から従う。
解答
(1)
n=1 のとき、t≧0 で et=1+∫0texdx≧∫0t1dx=t である。したがって et≧1!t が成り立つ。
次に、ある正の整数 n−1 について ex≧(n−1)!xn−1(x≧0) が成り立つと仮定する。このとき t≧0 で
et=1+∫0texdx≧∫0texdx≧∫0t(n−1)!xn−1dx=n!tn.
よって数学的帰納法により、すべての正の整数 n について et≧n!tn(t≧0) が成り立つ。
(2)
まず I0=limt→∞∫0te−xdx=limt→∞(1−e−t)=1 である。 m≧1 とする。部分積分により
∫0txme−xdx=[−xme−x]0t+m∫0txm−1e−xdx=−tme−t+m∫0txm−1e−xdx.
ここで(1)を n=m+1 に対して用いると et≧(m+1)!tm+1 だから 0≦tme−t≦t(m+1)!→0 である。したがって極限を取ると Im=mIm−1 を得る。 I0=1 から順に Im=m(m−1)⋯1I0=m! である。よって Im=m!(m=0,1,2,…) である。
