東北大学 2001年度
理系数学 前期 第1問

解答

(1)

2曲線の差を取ると $x^3+b{x}^2-(a{x}^2+abx)=x^3+(b-a)x^2-abx=x(x-a)(x+b)$ である。したがって交点の $x$ 座標は $-b,0,a$ である。 $-b<x<0$ では $x<0$、$x-a<0$、$x+b>0$ なので差は正である。$0<x<a$ では差は負である。よって2つの部分の面積の和 $S$ は $S={\int }_{-b}^{0}x(x-a)(x+b)dx-{\int }_0^{a}x(x-a)(x+b)dx$ である。

まず $x(x-a)(x+b)=x^3+(b-a)x^2-abx$ であるから、計算すると ${\int }_{-b}^{0}x(x-a)(x+b)dx=\frac{b^4}{12}+\frac{a{b}^3}{6}$ であり $-{\int }_0^{a}x(x-a)(x+b)dx=\frac{a^4}{12}+\frac{a^{3}b}{6}$ である。したがって $\boxed{S=\frac{a^4+2a^{3}b+2a{b}^3+b^4}{12}}$ である。

(2)

$a+b=1$ なので $b=1-a$、$0<a<1$ とおく。(1)の式を用いると $S=\frac{a^4+2a^3(1-a)+2a(1-a{)}^3+(1-a{)}^4}{12}$ である。これは $a$ と $b$ を入れ替えても同じ式なので、候補は対称点 $a=b=1/2$ である。

微分で確認する。整理すると $S=-\frac{a^4}{6}+\frac{a^3}{3}-\frac{a}{6}+\frac{1}{12}$ であり $S^{\prime }=-\frac{(2a-1)(2a^2-2a-1)}{6}$ である。$0<a<1$ では $2a^2-2a-1<0$ であるから、$S^{\prime }$ は $a<1/2$ で負、$a>1/2$ で正となる。よって $S$ は $a=\frac{1}{2}$ で最小になる。このとき $b=1/2$ であり $S=\frac{1}{32}$ である。したがって $\boxed{a=b=\frac{1}{2},S_{\min }=\frac{1}{32}}$ である。