東北大学 2001年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

関数 $f (x) = \frac{1 + 2 x - 1}{x}$ $(x \neq = 0)$ について， $a = x \to 0 lim f (x)$ ， $b = x \to 0 lim f^{'} (x)$ とおく．

(1) $a$ ， $b$ の値を求めよ．

(2) $- \frac{1}{2} ≦ x$ の範囲で，3つの関数 $1 + 2 x$ ， $1 + a x$ ， $1 + a x + b x^{2}$ の大小関係を調べ，これらの関数のグラフを同一の $x y$ 平面上に描け．

出典：東北大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

(1)は分子を有理化して $f (x) = 2/ (1 + 2 x + 1)$ とし、極限と導関数の極限を求める。(2)は $u = 1 + 2 x$ と置いて $x = (u^{2} - 1) /2$ に直し、3つの関数の差を因数分解する。符号は $u l e q q 1$ と $u g e q q 1$ 、つまり $x l e q q 0$ と $x g e q q 0$ で変わる。

解答

(1)

分子を有理化すると、 $x n e q 0$ で $f (x) = \frac{1 + 2 x - 1}{x} = \frac{2}{1 + 2 x + 1}$ である。したがって $a = lim_{x \to 0} f (x) = \frac{2}{1 + 1} = 1$ である。

また $f (x) = 2 (1 + 2 x + 1)^{- 1}$ より $f^{'} (x) = - 2 (1 + 2 x)^{- 1/2} (1 + 2 x + 1)^{- 2}$ である。よって $b = lim_{x \to 0} f^{'} (x) = - \frac{1}{2}$ である。

(2)

(1)より比較する3つの関数は $1 + 2 x, 1 + x, 1 + x - \frac{x ^{2}}{2}$ である。ここで $u = 1 + 2 x$ とおく。 $x ≧ - 1/2$ より $u ≧ 0$ であり $x = \frac{u ^{2} - 1}{2}$ である。

まず $1 + x - 1 + 2 x = 1 + \frac{u ^{2} - 1}{2} - u = \frac{( u - 1 ) ^{2}}{2} ≧ 0$ である。したがって常に $1 + 2 x ≦ 1 + x$ である。

次に $1 + x - \frac{x ^{2}}{2} - 1 + 2 x = - \frac{( u - 1 ) ^{3} ( u + 3 )}{8}$ である。 $u + 3 > 0$ だから、この符号は $u - 1$ の符号で決まる。 $u ≦ 1$ は $- 1/2 ≦ x ≦ 0$ 、 $u ≧ 1$ は $x ≧ 0$ に対応する。

よって $- \frac{1}{2} ≦ x ≦ 0$ では $1 + 2 x ≦ 1 + x - \frac{x ^{2}}{2} ≦ 1 + x$ であり、 $x ≧ 0$ では $1 + x - \frac{x ^{2}}{2} ≦ 1 + 2 x ≦ 1 + x$ である。等号はいずれも $x = 0$ で成り立つ。

グラフは、3曲線が点 $(0, 1)$ で接し、直線 $1 + x$ が常に最上位にある。放物線 $1 + x - x^{2} /2$ は $x < 0$ で平方根曲線より上、 $x > 0$ で平方根曲線より下に入れ替わる。

東北大学 2001年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2001年度
理系数学前期第2問