東北大学 2001年度
理系数学 前期 第5問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 複素数平面
- 解法
- 実部虚部比較、必要十分条件、式変形
- 難易度
- 7 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
複素数z=x+yi，w=u+vi（ただし，x，y，u，vは実数）は∣z∣=∣w∣=1を満たし，yv<0とする．∣1+z+w∣<1となるための必要十分条件をxとuを用いて表せ．
出典：東北大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
∣z∣=∣w∣=1 から y2=1−x2、v2=1−u2 とし、条件 yv<0 により yv=−(1−x2)(1−u2) と決める。次に ∣1+z+w∣2<1 を展開し、正の両辺を平方して x,u だけの不等式へ落とす。
解答
∣z∣=1、∣w∣=1 より x2+y2=1,u2+v2=1 である。したがって y2=1−x2,v2=1−u2 である。さらに yv<0 だから yv=−(1−x2)(1−u2) である。なお yv<0 より y,v は0でないので、−1<x<1、−1<u<1 である。
条件 ∣1+z+w∣<1 を2乗する。左辺は ∣1+z+w∣2=(1+x+u)2+(y+v)2 であり、これを展開すると 3+2x+2u+2xu+2yv である。したがって 3+2x+2u+2xu+2yv<1 すなわち (1+x)(1+u)+yv<0 である。
ここに yv=−(1−x2)(1−u2) を代入すると (1+x)(1+u)<(1−x2)(1−u2) を得る。−1<x<1、−1<u<1 より両辺は正であるから、平方しても同値である。よって (1+x)2(1+u)2<(1−x2)(1−u2) である。右辺を因数分解し、正の (1+x)(1+u) で割ると (1+x)(1+u)<(1−x)(1−u) となる。整理して x+u<0 を得る。
逆に x+u<0 なら上の変形を逆にたどれるので、もとの条件 ∣1+z+w∣<1 が成り立つ。したがって必要十分条件は x+u<0 である。
