問題
1から200までの整数が1つずつ記入された200枚のカードの入った箱がある．この箱から1枚のカードを無作為に抜き出して，それに書かれた数が奇数であればその数を得点とし，偶数の場合は奇数になるまで2で割って得られる奇数を得点とする．例えば，抜き出したカードの数が28であれば，これを2で2回割って得られる7が得点となる．1枚のカードを抜き出したときの得点の期待値を求めよ．
出典：東北大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
カードの数を （ は奇数）と表すと得点は奇数部分 である。したがって、各 について となる奇数 の和を足せば、全カードの得点総和になる。最後にカード枚数200で割る。
解答
カードに書かれた数を と表す。ただし は奇数である。このとき、偶数である限り2で割って最後に得られる奇数は である。したがって得点は である。
得点の総和を、 ごとに分けて求める。 では奇数 が出るので和は である。 では なので の奇数の和で である。
同様に続けると、得点総和は である。ここで例えば 、 は、それぞれ 、 の奇数和である。
したがって得点総和は である。カードは全部で200枚だから、期待値は である。よって である。
別解。奇数 が得点になるカードは のうち200以下のものである。したがって各奇数 について枚数を数え、 倍して足してもよい。この方法でも、上のように2の指数ごとに並べた和と同じ総和になる。