問題
四面体において，，，とおく．線分，，，，，の中点をそれぞれ，，，，，，とし，，，とおく．
(1) 線分，，は1点で交わることを示せ．
(2) ，，を，，を用いて表せ．
(3) 直線，，が互いに直交するとする．をとなる空間の点とするとき，四面体XABCの体積および四面体の体積を，，を用いて表せ．
出典：東北大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
文系第4問と同じく、中点の位置ベクトルから を で表し、逆に を で表す。(3)では となるため で、四面体 の体積がすぐ出る。さらに を互いに直交する 座標で見て、四面体 の体積を求める。
解答
以下、位置ベクトルを簡単に と書く。
中点の位置ベクトルは である。したがって である。
(1)
線分 の中点の位置ベクトルは である。同様に 、 の中点も同じく である。よって3線分はこの点で交わる。
(2)
である。第2式と第3式を加えると だから である。同様に を得る。
(3)
より である。したがって
である。 は互いに直交するので、四面体 の体積は である。
次に四面体 の体積を求める。互いに直交する の方向を座標軸に取り、長さを と書く。この座標で である。これら3点で作る平行六面体の体積は、成分を展開して となる。したがって四面体 の体積はその で である。