問題
実数，と正の数に対して，関数，および，と軸に関して対称なグラフをもつ関数について次の問いに答えよ．
(1) 2つの曲線ととの交点の座標，および，点で曲線に接する直線と曲線との交点の座標をそれぞれ求めよ．
(2) 直線と曲線で囲まれる領域の面積を，，で表せ．
(3) 曲線と曲線で囲まれる領域の面積がを満たすための，，の条件を求めよ．
出典：東北大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第6問
方針
は を 軸対称にした関数なので である。(1)は と をそれぞれ因数分解して交点の 座標を出す。(2)は の3つの根を用いて、正負の区間に分けて面積を積分する。(3)は から を求め、 を について解く。
解答
軸に関して対称なグラフは を に替えればよいので である。
(1)
まず を解く。 より である。 だから、交点の 座標は である。
次に、点 で に接する直線 を求める。 なので である。したがって である。 と の交点は すなわち を満たす。よって 座標は である。
(2)
である。2次方程式 の2解を
とおく。 は で正、 で負であるから である。
原始関数は である。ここで は の解なので、、 を用いて整理すると となる。
(3)
と の差は である。2曲線は で交わり、対称性から面積は である。よって
である。
条件 は である。整理して を得る。 とおくと であり、 だから のうち非負であり得るのは だけである。したがって である。 は面積にも交点の差にも影響しないので任意である。
よって条件は である。