問題
個のと個のを一列に並べるとき，同じ文字が連続している部分をその文字の連ということにする．たとえば，，のときの1つの順列
については，の連の個数は4，の連の個数は3で，連の総数は7である．次の問いに答えよ．
(1) 全く同じで区別のつかない個の球を，区別のつく個の箱に入れるとき，空箱の生じないような入れ方の総数を求めよ，ただし，とする．
(2) ，として，が 個の連をもつとき，の連の個数を調べよ．
(3) ，のとき，すべての順列が等しい確率で生ずるとして，の連の個数との連の個数の和が4，7，11となる確率をそれぞれ求めよ．
方針
連は、同じ文字を正の個数のブロックに分け、それらのブロックを交互に並べることに対応する。(1)で正の整数分割の数を確認し、(2)では の連数 に対して の連数が始まりと終わりの文字により のどれになるかを整理する。(3)は の分け方 、 の分け方 、交互に並べる始終端の数を掛ける。
解答
(1)
個の同じ球を 個の区別できる箱へ、空箱がないように入れる。各箱に入る個数を とすると である。 個を横に並べたすき間 個のうち、 個を仕切りに選べばよい。したがって総数は である。
(2)
の連が 個であるとする。 の連と の連は交互に現れるので、 の連数を とすると、始まりと終わりの文字によって のいずれかである。ただし は5個しかないので でなければならない。よって について表にすると
である。
(3)
全体の順列数は、12箇所のうち を置く7箇所を選んで 通りである。 の連が 個、 の連が 個であるとする。 個の を 個の空でない連に分ける方法は 通り、 個の を 個の空でない連に分ける方法は 通りである。さらにブロックの並びは、 なら から始めるか から始めるかの2通り、 または なら1通りである。
連の総数が のとき、可能なのは だけである。したがって通り数は である。
連の総数が のとき、可能なのは である。したがって通り数は
である。
連の総数が のとき、可能なのは だけである。したがって通り数は である。
よって求める確率はそれぞれ
である。