東北大学 2000年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

曲線 $y = r e^{r x}$ （ $r$ は正の定数）上の点 $P (a, b)$ における接線が原点を通るとする．点 $P$ を通り $y$ 軸に平行な直線， $x$ 軸， $y$ 軸および曲線 $y = r e^{r x}$ によって囲まれる部分を $S$ とし， $S$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を $V_{1}$ ， $S$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を $V_{2}$ とする．

(1) $a$ ， $b$ を $r$ を用いて表せ．

(2) $V_{1} = V_{2}$ となるような $r$ の値を求めよ．

出典：東北大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

まず接線が原点を通る条件を、点 $P (a, b)$ における接線の方程式または傾きで表す。 $b = r e^{r a}$ 、接線の傾き $r^{2} e^{r a}$ を使うと $a = 1/ r$ 、 $b = r e$ が出る。回転体は $S$ が $0 ≦ x ≦ 1/ r$ 、 $0 ≦ y ≦ r e^{r x}$ の領域であることを確認し、 $x$ 軸回転は円板法、 $y$ 軸回転は円筒殻で計算して等式を解く。

解答

(1)

曲線 $y = r e^{r x}$ の導関数は $y^{'} = r^{2} e^{r x}$ である。点 $P (a, b)$ は曲線上にあるから $b = r e^{r a}$ である。また、 $P$ における接線の傾きは $r^{2} e^{r a}$ である。接線が原点を通るので、その傾きは直線 $O P$ の傾き $b / a$ に等しい。したがって $\frac{b}{a} = r^{2} e^{r a}$ である。ここへ $b = r e^{r a}$ を代入すると $\frac{r e ^{r a}}{a} = r^{2} e^{r a}$ であり、 $r > 0$ 、 $e^{r a} > 0$ より $a = \frac{1}{r}$ を得る。よって $b = r e^{r \cdot (1/ r)} = r e$ である。

(2)

(1)より、領域 $S$ は $0 ≦ x ≦ \frac{1}{r}, 0 ≦ y ≦ r e^{r x}$ である。これを $x$ 軸のまわりに回転すると、円板法により $V_{1} = π \int_{0}^{1/ r} (r e^{r x})^{2} d x = π r^{2} \int_{0}^{1/ r} e^{2 r x} d x$ である。したがって

V_{1} = π r^{2} [\frac{e ^{2 r x}}{2 r}]_{0}^{1/ r} = \frac{π r ( e ^{2} - 1 )}{2}

である。

一方、 $y$ 軸のまわりに回転すると、半径 $x$ 、高さ $r e^{r x}$ の円筒殻で $V_{2} = 2 π \int_{0}^{1/ r} x r e^{r x} d x$ である。 $u = r x$ とおくと

\int_{0}^{1/ r} x r e^{r x} d x = \frac{1}{r} \int_{0}^{1} u e^{u} d u = \frac{1}{r} [e^{u} (u - 1)]_{0}^{1} = \frac{1}{r}

なので $V_{2} = \frac{2 π}{r}$ である。 $V_{1} = V_{2}$ より $\frac{π r ( e ^{2} - 1 )}{2} = \frac{2 π}{r}$ である。 $r > 0$ だから $r^{2} = \frac{4}{e ^{2} - 1}$ となり、求める値は $r = \frac{2}{e ^{2} - 1}$ である。

東北大学 2000年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2000年度
後期・理系数学後期第1問